Matematické Fórum

Borpray · 18. 05. 2012 15:07

Zdravím,

rád bych se prosím zeptal, jak určit průnik přímky (s osami soustavy souřadnic), která je hraniční přímkou roviny řešení této rovnice"

$|z-i|\ge |z+1-2i|$

thx

Rumburak

Zdravím.
Předně $|z-i|\ge |z+1-2i|$ není rovnice, ale nerovnice. Úlohu lze snadno řešit graficky, když si uvědomíme, že $|z-a|$ je
eukleidovská vzdálenost bodu $z$ od bodu $a$ .

Nápověda:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Borpray · 18. 05. 2012 18:05

Tu nerovnici mám mezi příklady s rovnicemi, to spletlo :))

Mimochodem, pokud znaménko nerovnosti změním na rovná se - jak je vidno z té nápovědy, tak dostanu akorát přímku, což je osa úsečky obrazů těch komplexních čísel. Za co tedy dosadit jako obvykle (tzn. u průniku s osou x dosadíme y=0). Ale tady to bude asi jinak, že :)

Rumburak · 19. 05. 2012 10:15

↑ Borpray:

Řešení rovnice $|z-i| = |z+1-2i|$ bude přímka (osa úsečky s krajními body i, 2i - 1) , jak jsi sám zjistil.
Řešení nerovnice $|z-i|\ge |z+1-2i|$ bude jedna z polorovin vyťatých předchozí přímkou. Průnik této poloroviny s některou
souřadnicovou osou už by neměl být těžký . Ale mám zároveň pocit, že nechápu správně Tvůj dotaz.

Borpray · 19. 05. 2012 16:09

Řešením té rovnice je tedy přímka, která se protiná nějakým způsobem s osami souřadnic. Otázka je, jak zjistit body, v nichž se protiná.

Rumburak · 21. 05. 2012 09:42

Popiš si tu přímku rovnicí. Můžeme postupovat analylicky -úpravou rovnice:

$|z-i| = |z+1-2i|$ , dosadíme $z = x + yi$ :
$|x + (y-1)i| = |x+1 + (y-2)i|$ , použijeme definici abs. hodnoty KČ :
$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2}$ , umocníme a algebraicky upravíme:
$x^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2$ ,
$x^2 + y^2-2y +1 = x^2+2x +1 + y^2-4y + 4$ ,
$-2y = 2x -4y + 4$ ,
$0 = 2x -2y + 4$ ,
$0 = x -y + 2$ ,
$y = x + 2$ (to je rovnice přímky ve směrnicovém tvaru).

Její průsečíky se souřadnicovými osami hledáme na základě poznatků:

bod [x, y] neboli x + yi leží na na ose x , právě když y = 0,
bod [x, y] neboli x + yi leží na na ose y , právě když .... doplň si už sám :-) .