Matematické Fórum

Lucka13 · 19. 05. 2012 10:36

Ahojte!!! Chcela by som vás poprosiť o vysvetlenie nasledovného dôkazu. Učili sme sa to prednedávnom, ale nikdy sme nerobili dôkaz periodickosti. A dozvedela som sa, že to máme aj na maturite, takže trošku stresujem..
Ak by ste mi mohli pomôcť, budem veľmi rada...ĎAKUJEM...

Príklad: Dokážte, že funkcia f(x)=(sin x+sin√x) nie je periodická.

Fakt, za akúkolvek radu, nápad som vďačná...

Bati · 19. 05. 2012 13:26

Ahoj,
pokud by $f(x)=\sin{x}+\sin{\sqrt{x}}\quad D_f=\langle0,\infty)$ měla být periodická, muselo by platit toto:
$\exists p>0\quad\forall x\in\langle0,\infty):f(x)=f(x+p)$ .
Potom by ale jistě platitlo:
$\forall x\in(0,\infty):f'(x)=\cos{x}+\frac1{2\sqrt{x}}\cos{\sqrt{x}}=\cos{(x+p)}+\frac1{2\sqrt{x+p}}\cos{\sqrt{x+p}}=f'(x+p)$ .
Ale $\lim_{x\rightarrow0_+}f'(x)=\infty$ , kdežto $\lim_{x\rightarrow0_+}f'(x+p)=\cos{p}+\frac1{2\sqrt{p}}\cos{\sqrt{p}}<\infty$ , protože máme podmínku $p>0$ .
Tedy platí :
$\exists \delta>0\quad\forall x\in(0,\delta):f'(x)>f'(x+p)$ , což je spor, a tedy f není periodická.

Lucka13 · 19. 05. 2012 16:48

↑ Bati:

jeej, ďakujem pekne...A ide to aj ľahšie, bez limitov? -bo tie sme sa neučili.

Bati · 19. 05. 2012 16:56

No, nevím, zkoušel jsem to předtím nějak přes goniometrické vzorce, ale nikdy to nevedlo úplně k cíli. Třeba někdo jiný na to přijde... ale tenhle postup je dost jednoduchý, jen je třeba znát ty limity a derivace.

Lucka13 · 19. 05. 2012 17:04

jasne, inak skusila som napisat aj na inu stranku, a tam mi napísali : sin(x) — no problem
sin(√x) ..has peaks (=1) at x = (π/2)², (5π/2)², (9π/2)², (16π/2)² which is not arithmetic, so not periodic.

Neviem, či uplne rozumiem.. Táto funkcia by bola periodická, iba ak by sin (x) a sin(√x) mali rovnaku periodu?

BakyX · 19. 05. 2012 18:09

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=45847

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2012 10:36

dôkaz periodickosti funkcie sínus

#2 19. 05. 2012 13:26

Re: dôkaz periodickosti funkcie sínus

#3 19. 05. 2012 16:48

Re: dôkaz periodickosti funkcie sínus

#4 19. 05. 2012 16:56

Re: dôkaz periodickosti funkcie sínus

#5 19. 05. 2012 17:04

Re: dôkaz periodickosti funkcie sínus

#6 19. 05. 2012 18:09

Re: dôkaz periodickosti funkcie sínus

Zápatí