Matematické Fórum

Magicmaster

Edit: uvědomil jsem si, že tohle není nekonečná řada, ale spíš posloupnost. Nevím ale jak editovat název.

Zdravím. Zajímalo by mě, jak by se odvodil součet této posloupnosti:
$I_n=(1+p)^nI+(1+p)^{n-1}I+(1+p)^{n-2}I+...+(1+p)I+I$

Snažím se odvodit vzorec pro složené úrokování s vkladem, vím, že to má vypadat
$I_n=I(1+p)\cdot \frac{(1+p)^n-1}{1+p-1}$
- Je v tom vidět 'skoro' vzorec pro geometricnou posloupnost s kvocientem (1+p), ale nevím, jak zdůvodnit tu závorku (1+p) před zlomkem.

Díky za pomoc

Bati · 19. 05. 2012 19:53

Ahoj,
ten zlomek $\frac{(1+p)^n-1}{1+p-1}$ je pouze součet řady $(1+p)^{n-1}+(1+p)^{n-2}+...+(1+p)+1$ , protože tam v čitateli není $(1+p)^{n+1}$ , ale $(1+p)^n$ . Proto je jakoby celý ten součet přenásobený $(1+p)$ , aby se to rovnalo.

Magicmaster

Vzorec pro součet je $s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$
U této posloupnosti je $a_1=1$ a $q=1+p$ , nebo se pletu?

Protože jestli se nepletu, pak součet řady od 1 do n-1 bude $s=\frac{(1+p)^{n-1}-1}{p}$ a tím pádem od 1 do n to co jsem napsal..
Nebo tomu nerozumím... :/

Bati · 19. 05. 2012 20:08

Ne, $1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ .

Magicmaster · 19. 05. 2012 20:17

Aha, už to chápu, ono je n+1 členů, zapomněl jsem na jedničku. S tímhle vzorcem tedy souhlasím, ale
$\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\ne q\frac{q^n-1}{q-1}$ , jak to je na začátku

Bati · 19. 05. 2012 20:21

Ano, to je pravda, ten vzorec, který má vyjít je přesně součtem té zadané posloupnosti bez toho posledního I, takže v jednom z toho je chyba.

Bati · 19. 05. 2012 20:27

Abych to ujasnil:
$I_n=(1+p)^nI+(1+p)^{n-1}I+(1+p)^{n-2}I+...+(1+p)I+I=I((1+p)^n+\ldots+1)=I\frac{(1+p)^{n+1}-1}{p+1-1}=\\ =I+I(1+p)((1+p)^{n-1}+\ldots1)=I+I(p+1)\frac{(p+1)^{n}-1}{p+1-1}$

Magicmaster · 19. 05. 2012 20:44

Díky. Už vidím, kde jsem dělal chybu. Má to být vzorec pro složené úročení a já si špatně odvodil už základní posloupnost. Má to být $I(1+p)+I(1+p)^2+I(1+p)^3+...=I\cdot (1+p)\frac{(1+p)^n-1}{p}$
Což sedí. Díky za pomoc

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2012 19:37 — Editoval Magicmaster (19. 05. 2012 19:53)

Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#2 19. 05. 2012 19:53

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#3 19. 05. 2012 20:01 — Editoval Magicmaster (19. 05. 2012 20:01)

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#4 19. 05. 2012 20:08

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#5 19. 05. 2012 20:17

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#6 19. 05. 2012 20:21

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#7 19. 05. 2012 20:27

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

#8 19. 05. 2012 20:44

Re: Vzorec pro nekonečnou řadu s rostoucím počtem členů

Zápatí