Matematické Fórum

fafi · 21. 05. 2012 11:21

Ti koule o průměru d1, d2 a d3, byly slity do jedné, vypočítejte objem a obsah dané koule. Jak na to?
Vím, že vzorec pro výpočet objemu koule je: $\frac{4}{3}\Pi r^{3}$ a obsahu: $\Pi d^{2}$ , proč tedy není výsledný obsah koule $\Pi d_{1}^{2}+\Pi d_{2}^{2 }+\Pi d_{3}^{2}$ a objem $\frac{4}{3}\Pi ((\frac{d_{1}}{2})^{3}+(\frac{d_{2}}{2})^{3}+(\frac{d_{3}}{2})^{3})$ ?

gogy27 · 21. 05. 2012 11:36 — Editoval gogy27 (21. 05. 2012 11:36)

V objeme s tebou súhlasím, ale v povrchu nie.
Je logické, že objemy všetkých malých gúľ musíme spočítať a získame objem veľkej gule, ale na povrch treba ísť odvodením z objemu.
$V= \frac{4}{3}\Pi r^{3}$
Povrch gule sa počíta cez tento vzorec: $S= 4\cdot \Pi \cdot r^{2}$
A ku polomeru gule sa musíš dostať z objemu.
Teda $r^{3} = (\frac{d_{1}}{2})^{3}+(\frac{d_{2}}{2})^{3}+(\frac{d_{3}}{2})^{3}$

fafi · 21. 05. 2012 12:59

↑ gogy27:
aha, no já právě totiž vůbec nerozumím, kde se vzaly tyto výsledky: $V=\frac{\Pi}{6}$ a $S= \Pi \sqrt[3]{(d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3})^{2}}$

fafi · 21. 05. 2012 13:01

↑ fafi:↑ fafi:
teda pardon $V=\frac{\Pi }{6}(d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3})$

Magicmaster

Je to jen upravený výraz pro objem.
$V=\frac{4}{3}\pi \cdot (\frac{d_1^3}{8}+\frac{d_2^3}{8}+\frac{d_3^3}{8})=\frac{4}{3\cdot 8}\pi\cdot(d_1^3+d_2^3+d_3^3)=\frac{\pi}{6}\cdot(...)$

Obsah by se dal taky obecně vyjádřit pomocí poloměru vzniklé koule.

byk7 · 21. 05. 2012 13:27

↑ fafi:
ten objem dostaneš jako
$V&=\frac43\pi r^3=\frac43\pi$\(\frac{d_1}{2}$^3+$\frac{d_2}{2}$^3+$\frac{d_3}{2}$^3\)=\frac43\pi$\frac{d_1^3}{8}+\frac{d_2^3}{8}+\frac{d_2^3}{8}$= \\ &=\frac43\pi\cdot\frac18$d_1^3+d_2^3+d_3^3$=\frac16\pi$d_1^3+d_2^3+d_3^3$$

odtud pak dostaneš poloměr vzniklé koule

$V=\frac43\pi r^3\Leftrightarrow\frac16\pi$d_1^3+d_2^3+d_3^3$=\frac43\pi r^3\Rightarrow r=\frac12\sqrt[3]{d_1^3+d_2^3+d_3^3}$

což po dosazení do vzorce pro povrch (obsah se používá spíš pro rovinné útvary) koule dostaneš

$S=4\pi r^2=4\pi$\frac12\sqrt[3]{d_1^3+d_2^3+d_3^3}$^2=\pi\sqrt[3]{$d_1^3+d_2^3+d_3^3$^2}$

fafi · 21. 05. 2012 13:39

↑ byk7:
Už chápu, všem moc díky ;)

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2012 11:21

obejm a obsah koule

#2 21. 05. 2012 11:36 — Editoval gogy27 (21. 05. 2012 11:36)

Re: obejm a obsah koule

#3 21. 05. 2012 12:59

Re: obejm a obsah koule

#4 21. 05. 2012 13:01

Re: obejm a obsah koule

#5 21. 05. 2012 13:20 — Editoval Magicmaster (21. 05. 2012 13:21)

Re: obejm a obsah koule

#6 21. 05. 2012 13:27

Re: obejm a obsah koule

#7 21. 05. 2012 13:39

Re: obejm a obsah koule

Zápatí