Matematické Fórum

Nikol · 08. 05. 2012 21:51

Může mi prosím někdo pomoci s výpočtem tohoto příkladu? Jsem bezradná...

Zadání: Určete vzdálenost mimoběžek p, q , víte-li, že:
p:
x=0
y=1-t
z=2

q:
x=2-s
y=3+2s
z=1

PS: výsledek má být 1, ale to je vše, co vím...

Děkuji moc

smatel · 08. 05. 2012 21:57

Dobrý večer,
hledáme vlastně osu mimoběžek (nejkratší příčka mimoběžek)

Směr té osy mimoběžek je kolmý k oběma přímkám. Tedy ze směrových vektorů přímek p,q uděláme vektorovým součinem vektor $\vec{n}$ k ním kolmý.

Dále bych proložil jednou z přímek rovinu, která má normálový vektor $\vec{n}$

A velikost osy mimoběžek bych pak vypočítal, jako vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od této roviny (v které leží druhá přímka), podle známého vztahu: $v = \frac{|ax^2 + by^2 + cz^2 + d|}{\sqrt{a^2 +b^2 + c^2}}$ , pokud jej neznáš, může vést kolmici z libovolného bodu přímky k té rovině, nalézt průsečík a určit vzdálenost průsečíku a zvoleného bodu.

_______________________
Pokud kolegy napadá jiný způsob, prosím doplňte, opravte. Díky.

smatel · 08. 05. 2012 22:02 — Editoval smatel (08. 05. 2012 22:03)

Teď ještě koukám na zadání, ty přímky mají speciální polohy vzhledem k soustavě souřadnic, takže když si to šikovně nakreslíš, tak se to ani nemusí počítat.

Co se týče výpočtu, tak ten vektor vyjde $\overrightarrow{n} = (0,0,1)$
Rovnice roviny, ve které leží první přímka: $z - 2 = 0$
a vzdálenost bodu druhé přímky [2,3,1] od roviny $v =\frac{|1-2|}{\sqrt1} = 1$

Nikol · 09. 05. 2012 01:11 — Editoval Nikol (09. 05. 2012 01:19)

Už mi to dává docela smysl. Špatně jsem si asi představovala tu rovinu - jakoby sekala ty přímky. Ale dle toho, co píšete, spíš prochází jednou z nich a je rovnoběžná s podstavou xy. Je to tak, že? :)

smatel · 09. 05. 2012 09:26

↑ Nikol:

No to by bylo ideální to někde "seknout" rovinou, a protnout mimoběžky v nějakých dvou bodech a to by byla vzdálenost. Problém je, že vůbec netuším, kde to tou rovinou protnout.

Úsečka spojující obě mimoběžky, která je nejkratší má tu vlastnost, jako u jiných vzdáleností, že je kolmá k oboum přímkám. V řešení jsem si vlastně udělal vektor kolmý k oběma přímkám. A když proložím jednou přímkou rovinu, která má tento normálový vektor, tak vzdálenost druhé mimoběžky od této roviny je nekratší možnou vzdáleností, tedy i vzdáleností mimoběžek (správněji délkou osy mimoběžek)

Jojo, přesně, přímky jsou rovnoběžné se souřadnicovou rovinou xy; takže stačí odečíst jejich zetové souřadnice.

Takjo · 09. 05. 2012 10:38

↑ Nikol:
Dobrý den,
zkusme alternativní způsob řešení:
Vzdálenost mimoběžek = délka úsečky PQ, která je na obě přímky kolmá.
Bod P: $P=[0;1-t;2]$ (bod P leží na přímce p)
Bod Q: $Q=[2-s;3+2s;1]$ (bod Q leží na přímce q)
Vektor: $\overrightarrow{Q-P}=(2-s;2+2s+t;-1)$

Vektor $\overrightarrow{Q-P}$ je kolmý na $\vec{s}_{p}$ (směrový vektor přímky p) $\Rightarrow \overrightarrow{Q-P}\cdot \vec{s}_{p}=0$ (skalární součin je roven 0)
$(2-s;2+2s+t;-1)\cdot (0;-1;0)=0$
$-2-2s-t=0\Rightarrow 2+2s+t=0$

Vektor $\overrightarrow{Q-P}$ je kolmý na $\vec{s}_{q}$ (směrový vektor přímky q) $\Rightarrow \overrightarrow{Q-P}\cdot \vec{s}_{q}=0$ (skalární součin je roven 0)
$(2-s;2+2s+t;-1)\cdot (-1;2;0)=0$
$-2+s+4+4s+2t=0\Rightarrow 2+5s+2t=0$

A dále řešíme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé (s, t):
$2+2s+t=0$
$2+5s+2t=0$
Takže: $s=2;t=-6$

Dále dosadíme do: $P=[0;1-t;2]=[0;7;2]$
a $Q=[2-s;3+2s;1]=[0;7;1]$

A nakonec vypočteme vzdálenost dvou bodů PQ:
$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^{2}+(y_{Q}-y_{P})^{2}+(z_{Q}-z_{P})^{2}}=\sqrt{(0-0)^{2}+(7-7)^{2}+(1-2)^{2}}=1$