Matematické Fórum

aaoswego · 22. 05. 2012 16:45

Zdravim,
jak na zjisteni konvergence tyhle rady?
Predem diky

jardofpr · 22. 05. 2012 18:25

ahoj ↑ aaoswego:

je to rad s kladnými členmi kde $a_{n}=\prod_{k=0}^{n}\frac{1000+k}{1+2k}$

stačí vypočítať limitu $L:=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$

rad konverguje ak $L<1$ ,diverguje pre $L>1$

aaoswego · 22. 05. 2012 20:10

Jsem zkousel, ale limita mi porad vychazi 1, spravne ma byt myslim 1/2. Takze by se mi moc hodilo, kdyby si to deleni s tou limitou mohl rozepsat, diky

jardofpr · 22. 05. 2012 20:20

↑ aaoswego:

čo keby si to ty rozpísal a ja ti poviem kde máš chybu? ;-)

aaoswego · 22. 05. 2012 20:37

$\frac{(1000+n+1)}{1+2(n+1)}*\frac{1+2n}{1000+n}=\frac{2n^2+2003n+1001}{2n^2+2003n+3000}$

jardofpr

↑ aaoswego:

toto nie je dobre
ako som písal vyššie,

$a_{n}=\prod_{k=0}^{n}\frac{1000+k}{1+2k}=\frac{1000}{1}\cdot\frac{1001}{3}\cdot\,\dots\,\cdot\frac{1000+n}{1+2n}$

a ty máš počítať $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$

takže máš počítať limitu

$\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n+1} \frac{1000+k}{1+2k}}{\prod_{k=0}^{n}\frac{1000+k}{1+2k}}$

aaoswego · 22. 05. 2012 21:04

Umm tak to bych se asi potreboval optat, co znamena to velky Pi. Nasledujici postup by tedy byl oddelit ten n+1 clen z citatele, zbytek se pokrati a pak tedy dostanu vysledek -1/2? Diky

jardofpr

↑ aaoswego:

preto som to rozpísal

tak ako je napríklad $\sum_{k=1}^{n}k=1+\dots+n$
tak je $\prod_{k=1}^{n}k=1.2.\,\,...\, .n$

je to znak ktorý skracuje zápis súčinu

takže

$\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n+1} \frac{1000+k}{1+2k}}{\prod_{k=0}^{n}\frac{1000+k}{1+2k}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1000}{1}\cdot\frac{1001}{3}\cdot\,\,\dots\,\,\cdot\frac{1000+n}{1+2n}\cdot\frac{1000+n+1}{1+2(n+1)}}{\frac{1000}{1}\cdot\frac{1001}{3}\cdot\,\,\dots\,\,\cdot\frac{1000+n}{1+2n}}$

po pokrátení zostane limita (je to dufam vidno)

$\lim_{n \to \infty}\frac{1001+n}{3+2n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1001}{n}}{2+\frac{3}{n}}$