Matematické Fórum

Ilhvm · 22. 05. 2012 18:36

Ahoj, potřebovala bych vědět, jak určím, zda je zobrazení monomorfismus popřípadě epimorfismus. Vím, že epimorfismus je, když má každý prvek přiřazen aspoň jeden vzor a monomorfismus, kdy každý prvnek má právě jeden vzor, ale jak to z toho poznám?

f: R2 -> R2 (x, y) -> (x+y, 0)

Jádro mám a mám taky trošku problém s určením obrazu. Za x a y jsem dosadila 1, tím pádem my vyšlo φ(e1) = (1, 0) a φ(e2) taktéž (1, 0), co teď s tím?

Děkuji moc.

jardofpr

ahoj ↑ Ilhvm:

čo s tým?
to že sa ti dva rôzne body zobrazili na ten istý bod už vylučuje monomorfizmus

čo sa týka epimorfizmu, zobrazí sa niečo na $(0,5)$ napríklad?
(odpoveď na túto otázku by pomohla aj s monomorfizmom)

Ilhvm · 22. 05. 2012 19:07

↑ jardofpr: No já to tak nějak vůbec asi nechápu ... to např. (0, 5) nevím jak to mám zjistit, kde to dosadit

jardofpr

↑ Ilhvm:

čo je obrazom $\mathbb{R}^2$ pri zobrazení $f$ ?

alebo jednoduchšie
kam sa zobrazí os $x$ ? (teda body $(x,0)\,,\,x \in \mathbb{R}$ )

Ilhvm · 22. 05. 2012 19:33

↑ jardofpr: No se mnou to bude trošku složitější, protože tady tenhle příklad vidím poprvé v životě no :)).

jardofpr · 22. 05. 2012 19:37

↑ Ilhvm:

oooukej
zoberme si body $(0,0)$ , $(1,0)$ a $(-\sqrt{3},0)$
vieš nájsť $f(0,0),f(1,0),f(-\sqrt{3},0)$ ?

Ilhvm · 22. 05. 2012 19:41

↑ jardofpr: Nooo tak asi, že za x si dosadíme libovolné číslo (spočítáme x+y, tím že je y nula tak to bude vždycky x + 0) a y bude vždy 0?

jardofpr · 22. 05. 2012 19:47

↑ Ilhvm:

správne
takže os x sa zobrazí sama na seba

kam sa zobrazí nejaký bod ktorý je mimo osi x?
napr. $(2,1)$ ?

Ilhvm · 22. 05. 2012 20:15

↑ jardofpr: No asi mimo zobrazení :)) Podle toho předpisu to není

jardofpr · 22. 05. 2012 20:19

↑ Ilhvm:

tvojej odpovedi nerozumiem ale otázka znela kam sa zobrazí bod $(2,1)$

to znamená, aký je obraz bodu (2,1) pri zobrazení f

to znamená, čomu sa rovná $f(2,1)$ ??

Ilhvm · 22. 05. 2012 20:35

↑ jardofpr: Snad (2+1, 1) tzn. (3,1)? To asi spíše ne ..

jardofpr · 22. 05. 2012 20:54

↑ Ilhvm:

to je podľa akého predpisu?

veď máš

$f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$
$f((x,y))=(x+y,0)$

tak keď vezmem bod $(2,1)$ tak $x=2,y=1$
obraz tohto bodu má byť $(x+y,0)$

rozumieš pojmu obraz a zobrazenie? to je dôležité

Ilhvm · 22. 05. 2012 21:01

↑ jardofpr: Takže to bude (3,0)? Právě ani moc nerozumím

jardofpr · 22. 05. 2012 21:02

↑ Ilhvm:

presne tak
ale obávam sa že bez týchto základných pojmov sa nepohneme ďalej
skús sa najprv pozrieť sem

Ilhvm · 22. 05. 2012 21:08

↑ jardofpr: Tak zobrazení přiřazuje prvky jedné množiny do prvků druhé množiny a obraz je jakoby množina, která je podmnožinou jak množiny první tak i druhé. Je to správně?

jardofpr

↑ Ilhvm:

nie
zobrazení přiřazuje prvky jedné množiny do prvků druhé množiny - to je ok
ale obraz je vo všeobecnosti podmnožinou len tej množiny kam sa zobrazuje
totiž množina na ktorej je zobrazenie definované sa nemusí rovnať množine kam sa zobrazuje
v tomto prípade sa tieto dve množiny rovnajú takže tu je pravda, že obraz je
podmnožinou aj definičného oboru, ale to je špeciálny prípad

napríklad
$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$
$g(x)=(x,0)$

$g$ je zobrazenie z reálnych čísel do roviny $\mathbb{R}^2$

vezmeš si ľubovoľné reálne číslo x a jeho obrazom je bod $(x,0)$
to je bod na osi x, alebo na priamke $y=0$
obrazom celej množiny $\mathbb{R}$ je teda priamka v rovine
tá je podmnožinou roviny ale nie je podmnožinou množiny $\mathbb{R}$
chápeme sa?

takisto by sme mohli mať predpis $g(x)=(0,x)$

ľubovoľnému bodu sa týmto priradí bod ktorý ale leźí na osi $y$

obrazom $\mathbb{R}$ by teraz bola os y
je to aspoň trochu zrozumiteľné?

Ilhvm · 22. 05. 2012 21:53

↑ jardofpr:Dá se říct že asi jo

jardofpr

↑ Ilhvm:

no a my máme teraz zobrazenie
$f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$
$f((x,y))=(x+y,0)$

zobrazenie je definované na množine $\mathbb{R}^2$ a zobrazuje do množiny $\mathbb{R}^2$

teda keď si vezmeme ľubovoľný bod $(x,y)$ z $\mathbb{R}^2$ tak ho $f$ zobrazí na nejaký bod z $\mathbb{R}^2$

môžeš si to nakresliť vedľa seba ako dve roviny $xy$
z jednej z nich sa vezmú všetky body a zobrazia sa niekam do druhej roviny

a to, kam sa zobrazia, určuje predpis zobrazenia

majme napr.
$g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$
$g((x,y))=(x,y)$

toto zobrazenie každý bod zobrazí na seba,
takže celá rovina tak ako je, sa zobrazí do seba presne tak ako bola predtým
obrazom bude celá rovina

teraz majme napr.
$g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$
$g((x,y))=(0,0)$

toto zobrazenie vezme ľubovoľný bod z $(x,y)$ a zobrazí ho na bod $(0,0)$
to znamená že všetky body sa zobrazia na ten istý bod,
obrazom bude teda len jednoprvková množina $\{(0,0)\}$

vieš si predstaviť ako to funguje?

Ilhvm · 22. 05. 2012 22:28

↑ jardofpr: Takže tady u toho mojeho předpisu (x+y, 0), když např. za x = 2 a y = 3, pak dostaneme (5, 0) a to je teda ten obraz?

jardofpr

↑ Ilhvm:

áno, to je obraz bodu $(2,3)$

všimni si, že to je napríklad aj obraz bodu $(1,4)$

a veľa veľa ďalších bodov sa zobrazí na bod $(5,0)$

Ilhvm · 22. 05. 2012 22:51

↑ jardofpr: Ahá, a zapsat se to dá jak? Když mám v zadání že mám určit obraz zobrazení? Stačí jen např to (5, 0)? Samozřejmě i s postupem ...

jardofpr · 22. 05. 2012 23:13

↑ Ilhvm:

nie nestačí $(5,0)$

to predsa nie je celý obraz roviny $\mathbb{R}^2$ pri tomto zobrazení
najprv ho treba nájsť, potom sa dá zapisovať

obraz vlastne znamená, kam všade sa zobrazia body z $\mathbb{R}^2$ pri zobrazení $f$
obraz množiny pri zobrazení je množina obrazov všetkých prvkov tejto množiny
môžu sa body z $\mathbb{R}^2$ zobraziť len na bod $(5,0)$ ?

Ilhvm · 23. 05. 2012 00:18

↑ jardofpr:No to ne, tam může být za x nebo y dosazeno jakékoliv číslo reálné ne?

jardofpr · 23. 05. 2012 11:22

↑ Ilhvm:

presne tak ...
takže kam všade sa môžu zobraziť týmto zobrazením body z roviny $xy$ ??
čo vieme o tých obrazoch, z predpisu zobrazenia?

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2012 18:36

Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#2 22. 05. 2012 19:00 — Editoval jardofpr (22. 05. 2012 19:02)

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#3 22. 05. 2012 19:07

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#4 22. 05. 2012 19:09 — Editoval jardofpr (22. 05. 2012 19:23)

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#5 22. 05. 2012 19:33

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#6 22. 05. 2012 19:37

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#7 22. 05. 2012 19:41

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#8 22. 05. 2012 19:47

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#9 22. 05. 2012 20:15

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#10 22. 05. 2012 20:19

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#11 22. 05. 2012 20:35

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#12 22. 05. 2012 20:54

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#13 22. 05. 2012 21:01

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#14 22. 05. 2012 21:02

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#15 22. 05. 2012 21:08

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#16 22. 05. 2012 21:19 — Editoval jardofpr (22. 05. 2012 21:39)

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#17 22. 05. 2012 21:53

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#18 22. 05. 2012 21:59 — Editoval jardofpr (22. 05. 2012 22:03)

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#19 22. 05. 2012 22:28

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#20 22. 05. 2012 22:31 — Editoval jardofpr (22. 05. 2012 22:33)

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#21 22. 05. 2012 22:51

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#22 22. 05. 2012 23:13

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#23 23. 05. 2012 00:18

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

#24 23. 05. 2012 11:22

Re: Zobrazení - epimorfismus, monomorfismus

Zápatí