Matematické Fórum

blechy · 23. 05. 2012 16:18

Poradí někdo jak na tohle?

Napište rovnice všech tečen elipsy $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , které vytínají na souřadnicových osách stejně dlouhé délky.

Phate · 23. 05. 2012 16:42

které vytínají na souřadnicových osách stejně dlouhé délky.

znamena, ze ma pruseciky [0,x] a [x,0]

blechy · 23. 05. 2012 17:27

↑ Phate:

Jak to myslíš????

jelena · 23. 05. 2012 23:44

↑ blechy:

kolega ↑ Phate: patrně myslí, že x-souřadnice průsečíku tečny a osy x je stejná, jako y-souřadnice průsečíku tečny a osy y. Tečna a osy tvoří pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Pokud mate označení x, můžeš používat "znamena, ze ma pruseciky [0,a] a [a,0]".

Můžeš sem umístit obrázek, ze kterého bude jasné, zda se rozumíme.

blechy · 24. 05. 2012 07:49

↑ jelena:

Tak tady je obrázek... jestli jsem to pochopil správně .. tak výsledné tečny budou kolmé na osy y=x a y=-x.

jelena · 24. 05. 2012 07:56

↑ blechy:

děkuji, ale sleduji, že označením a jsem také moc nepomohla, jelikož v elipse značí něco jiného.

Tedy ještě jednou: [0, nějaké číslo] a [stejné "nějaké číslo", 0], napříkl. [0, w] a [w, 0]. Tečna se má dotykat elipsy a na osách vytnout stejné číslo w.

blechy · 24. 05. 2012 09:27

↑ jelena:

tak zkusím nový obrázek .. takto by to mělo vypadat... předpokládám, že teď je to tak, jak jste oba mysleli ... mně jde hlavně o to, jak to analyticky spočítat..., protože to je to, co vlastně pořádně nevím. Mám zadané a, b, a vím, že elipsa má střed v bodě /0,0/ a že rovnice tečny bude jistě ve tvaru x2x+y2y=1. Ale jak přijdu na bod dotyku?

jelena · 24. 05. 2012 09:59

děkuji, už je to shodné. Zůstala bych u označení

- bod doteku T [x_0, y_0].
- bod na osách [0, w], [w, 0], [0, -w], [-w, 0].

Rovnice přímky, která prochází body [0, w], [w, 0] (trojúhelník v 1. kvadrantu) je $y=x-w$ . Pokud přímka má být tečnou, potom s elipsou má jeden společný bod a kvadratická rovnice sestavena dosazením bodu z přímky a elipsy má jeden dvojnásobný kořen (D=0), tedy sestavit příslušnou kvadratickou rovnici a vyšetřit vzhledem k parametru w. Další přímky již odvodíme z této první (jako rovnoběžné nebo kolmé).

Možné vzory (je v tom i druhá metoda, kterou jsi navrhl - použití vzorce pro tečnu, ovšem je třeba udělat pořádek v označení, co používáš).

blechy · 24. 05. 2012 10:22

↑ jelena:

Děkujuuuu . teď už to chápu ... člověk v tom hledá složitosti... a ono to zas tak těžké není no :))))

blechy · 24. 05. 2012 12:21

↑ jelena:

jestli jsem počítal dobře, tak to vyšlo

I.kvadrant: $y=-x+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
II.kvadrant: $y=x+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
III.kvadrant: $y=-x-\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
IV.kvadrant: $y=x-\sqrt{a^{2}+b^{2}}$