Matematické Fórum

FlyingMonkey · 24. 05. 2012 01:13

Zdravím,

mám dokázat že platí, ale ne matematickou indukcí....

4|(2n^2+2n)

Prosím o pomoc, díky :)

Phate · 24. 05. 2012 07:57

1) rozloz na soucin
2) predpokladej, ze n je sude/liche
3) vytkni 4
4) ???
5) Profit

FlyingMonkey

nejsem si jistej, jestli to chapu dobre?

4(1|0,5n(n+1)) ?

a ted kdyz to teda rozdelim na n sude, tak to deli, na n liche, tak ne?

jak to potom zapsat korektne jako matematicky dukaz, prosim?v tomhle jsem ztracenej :) díky

Phate · 24. 05. 2012 08:41 — Editoval Phate (24. 05. 2012 08:41)

nemuzes vytknout takhle 4, pracuj jen s tim vyrazem co mas na "prave strane" a hlavne vytknout 4 je az treti krok, proto jsem ho napsal jako 3. krok

FlyingMonkey · 24. 05. 2012 08:53

Ja si rikal ... :D

mno tak:

4|(2n^2+2n)

1. 4|2n(2n+1)

ano?
2. předpokládám no,... a ? :D když bude n = 1,3,5,7 .... tak budu na pravé strane dostavat vzdy sude cislo protoze liche * sude = sude
2n vzdy sude, 2n+1 pro n = 1,3,5..... vzdy liche, ale pak nasobim sude*liche => vyjde sude.

pro n=2,4,6....

plati to same, vzdy sude.

ale to vytknuti, tecky, profit fakt nevim, co tim chtel basnik rici, diky! :)

jinak to 4|x znamena, ze deli bezezbytku? nebo, ze to musi vyjit prirozene cislo?

(18:4=4,5) to vyhovuje taky? nebo to musi byt vylozene 12:4 atd ..? :) sry za debilni dotazy ....
Dik

Rumburak · 24. 05. 2012 10:31

↑ FlyingMonkey:
Zdravím.
Chceme dokázat, že 4|(2n^2+2n) , kde n je libovolné celé číslo. Ten výraz 2n^2+2n upravíme na 2n(n+1) , který je zřejmě dělitelný 2-ma.
Zbývá tedy dokázat, že n(n+1) je rovněž dělitelné 2-ma, a to je velmi jednoduché, když si uvědomíme, jak se sudá čísla střídají s lichými.

FlyingMonkey · 24. 05. 2012 10:57

Díky moc za odpověď ...

jinak tady n jsou přirozená, ale je mi jasné, že to na úvaze nic nemění ...

takže nějak takhle?

2n^2+2n = 2 n(n+1) => 2 * 2 * k = 4k
kde n(n+1) je vždycky sudé :)

4|4k platí ....

ano? Díky

Honzc · 24. 05. 2012 11:18 — Editoval Honzc (24. 05. 2012 11:21)

↑ FlyingMonkey:
Třeba takto:
$2n^{2}+2n=2n(n+1)$
pro n-sudá tj. $n=2k$
$2n(n+1)=2\cdot 2k(2k+1)=4k(2k+1)$
pro n-lichá tj. $n=2k-1$
$2n(n+1)=2 (2k-1)2k=4(2k-1)k$
Je zřejmé, že oba výrazy jsou dělitelné 4 a tedy i výraz $2n^{2}+2n$ je dělitelný 4.

Rumburak

Pokud Ti jde o formální stránku důkazu, tak snaž se ho napsat tak, aby byl srozumitelný a jednotlivé jeho kroky
logicky navazovaly na předchozí. Cílem důkazu je adresáta přesvědčit, to znamrná vysvětlit. Není nutno pří tom
šetřit slovními formulacemi, pokud by to bez nich bylo obtížně pochopitelné.

Co jsi chtěl říci implikací 2n^2+2n = 2 n(n+1) => 2 * 2 * k = 4k ? Výrok 2 * 2 * k = 4k platí i bez předpokladu 2n^2+2n = 2 n(n+1).
Jakou roli zde hraje číslo k ? Další výrok 4|4k o něm je rovněž triviální a není uvedeno, jak souvisí s výrazem 2n^2+2n .
Čtenář sice může při své dobré vůli tyto myšlenky patřičně uspořádat do souvislostí, ale právě to uspořádání do souvislostí je úkolem
autora důkazu.

Viděl bych důkaz následovně:

(1) 2n^2+2n = 2n(n+1) ,

n(n+1) je vždy sudé => 2 | n(n+1) => 4 | 2n(n+1) ,

takže podle (1) dostáváme, že 4 | (2n^2+2n) .

Dopručuji pročítat si důkazy v učebnici, snažit se je pochopit a pak i samostatně provádět - tím si matematické myšlení procvičíš nejlépe.

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2012 01:13

Důkaz bez mat. indukce

#2 24. 05. 2012 07:57

Re: Důkaz bez mat. indukce

#3 24. 05. 2012 08:23 — Editoval FlyingMonkey (24. 05. 2012 08:23)

Re: Důkaz bez mat. indukce

#4 24. 05. 2012 08:41 — Editoval Phate (24. 05. 2012 08:41)

Re: Důkaz bez mat. indukce

#5 24. 05. 2012 08:53

Re: Důkaz bez mat. indukce

#6 24. 05. 2012 10:31

Re: Důkaz bez mat. indukce

#7 24. 05. 2012 10:57

Re: Důkaz bez mat. indukce

#8 24. 05. 2012 11:18 — Editoval Honzc (24. 05. 2012 11:21)

Re: Důkaz bez mat. indukce

#9 24. 05. 2012 11:28 — Editoval Rumburak (24. 05. 2012 11:31)

Re: Důkaz bez mat. indukce

Zápatí