Matematické Fórum

peacemaster · 24. 05. 2012 11:59

Zdravím :)

Potřeboval bych poradit jak na tuto transformaci:

pokud správně chápu, tak je třeba exponenciálu zderivovat dvakrát a její derivace dosadit do vztahu co je výše na obrázku, poté algebraicky upravit a budu mít výsledek?

Rumburak · 24. 05. 2012 12:24

Ahoj.
Pro $x =\mathrm{e}^t$ položíme $g(t) = f(x)$ , tedy vzhledem k $t = \ln x$ bude $f(x) = g(\ln x)$ a dále

(1) $f'(x) = \frac {g'(\ln x)}{x}$ ,

takže $x f'(x) = g'(\ln x) = g'(t)$ . Obdobný způsob, jak vhodně nahradit člen $x^2f''(x)$ , dostaneme zderivovováním vztahu (1).
Celkem obdržíme dif. rovnici v proměnné $t$ s neznámou funkcí $g$ .

peacemaster

děkuji pane Rumburaku, teď už aspoň vím jak se vyjádří proměnná t :) sice je to uplně jasné, ale nějak jsem to přehlížel :)

nicméně, přikládám postup, který máme ve skriptech. Žlutě jsem zvýraznil člen, u kterého mi není jasný jak vznikl. Pokud správně chápu, měla by to být derivace t podle x a pokud t=ln(x), tak by tam dle mého mělo být tedy 1/x. evidentně je v mé úvaze ale díra. Mohl by to někdo prosím objasnit? Potřeboval bych, abych byl ideálně schopný postup logicky odvodit a nemusel si ho tak pamatovat nazpaměť.

děkuji moc

Rumburak

Jde jen o použití vzorce z věty o derivaci inversní funkce, který je i velmi názorný, uvědomíme-li si geometrický význam derivace.

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2012 11:59

transformace diferenciální rovnice zavedením nezávislé proměnné

#2 24. 05. 2012 12:24

Re: transformace diferenciální rovnice zavedením nezávislé proměnné

#3 25. 05. 2012 10:51 — Editoval peacemaster (25. 05. 2012 10:52)

Re: transformace diferenciální rovnice zavedením nezávislé proměnné

#4 25. 05. 2012 11:20 — Editoval Rumburak (25. 05. 2012 11:21)

Re: transformace diferenciální rovnice zavedením nezávislé proměnné

Zápatí