Matematické Fórum

peacemaster

dobrý den, řeším tuto úlohu: Vyšetřete lok. extrémy funkce y(x) pro křivku zadanou implicitně rovnicí $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2=0$

drží se mě však nejistota u hledání stacionárních bodů, první derivace (tak že jsem funkci y prohlásil za fci proměnné x) vychází následovně:
$y'=\frac{2x-4x^3}{4y^3-2y}$ položim rovno nule, vytknu a mám $2x(1-2x^2)=0$
z čehož dostanu body
$x_1=0$
$x_2=\sqrt{\frac{1}{2}}$
$x_3=-\sqrt{\frac{1}{2}}$

y-ové souřadnice získám tak, že dosadím x-ové do zadání, z čehož vyleze nálož y-souřadnic:
pro $x=0$ :

$y_1=0$
$y_2=1$
$y_3=-1$

pro $x=\sqrt{\frac{1}{2}}$ dostanu po dosazení do zadání $y^4-y^2-\frac{1}{4}=0$
udělám substituci $y^2=t$ a dostávám $t_{1}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ a $t_{2}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
po zpětné substituci mám $y^2_{1}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ z čehož dostanu 2 y-ové souřadnice

$y=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$ a pro druhý kořen substituované rovnice dostanu analogicky $y=\pm \sqrt{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}$

je takto správný postup?

dohromady je to 11 stacionárních bodů a mě jde o to jestli moje zpětna substituce je správná, protože mi přijde dosti pracné počítat hodnoty první a druhé derivace pro všech 11 bodů a kontrolovat je na minima/maxima, ve zkoušce na kterou máme 1,5 hodiny. Jen než jsem vypočítal stac. body ta mi to trvalo asi 45 minut :)

druhý dotaz je zda-li musím hledat hodnotu derivací ve všech najitých bodech, nebo jsou některé nesmyslné a nemusim s nimi počítat? pokud ano, jak tyto nesmyslné body najdu?

výsledek celé úlohy (je to jen 6 stac. bodů) je na druhé stránce tohoto odkazu, příklad 3a Odkaz

edit: doplněno korektní zadání úlohy

Rumburak

Zdravím.

Především je potřeba vyjasnit jednu nesrovnalost:

V nadpise témtu je uvedeno cosi o lok. extrémech implicitně zadané funkce a i některé úvahy Tvého výpočtu ukazují tím směrem,
ale na začátku hlavního textu je zadání

"Najdi lokální extrémy funkce $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2$ ",

což je jiná úloha, funkce F dvou proměnných je zde zadána naopak explicitně a o žádné implicitně zadané funkci tu zmínka není.
Takže jak je to se skutečným zadáním ?

peacemaster

↑ Rumburak:
pardon za nejasnost - doslovné zadání:
Vyšetřete lok. extrémy funkce y(x) pro křivku zadanou implicitně rovnicí $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2=0$

edit: oprava

Rumburak

↑ peacemaster:

Problém je v tom, že rovnicí $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2$ je zadána pouze funkce F dvou proměnných x, y a rozhodně ne křivka.

Rovnicí $z = F(x, y)$ je zadána plocha.

Pro vhodnou konstantu $c$ pak může být rovnicí $F(x, y) = c$ zadána křivka prípadně funkce $y=y(x)$ . V tomto případě také
hovoříme o implicitním zadání oné funkce či křivky. Ta rovnice $F(x, y) = c$ s konkretní hodnotou $c$ nám tu ale doposud chybí.

jelena · 24. 05. 2012 15:34

Zdravím v tématu, kolega poskytl odkaz na originál a v tom je =0 (zadání 3a.)

Rumburak · 24. 05. 2012 15:39

↑ jelena:
Děkuji, pak už jem se do prvního příspěvku nedíval a zadání jsem minul.

peacemaster

↑ jelena:
nojo, pardon tak ještě jednou oprava: $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2=0$

Rumburak

↑ peacemaster:

Implicitní funkce y(x) zadané rovnicí $x^4+y^4-x^2-y^2 = 0$ jsou - i když počítáme pouze ty, co jsou spojité - čtyři a můžeme je vyjádřit explicitně:

(1) $y_i(x) = \pm \sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1 - 4(x^4-x^2)}}{2}}$ ,

jejich společným definičním oborem je uz. interval $\left[0, \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}\right]$ TOTO JE ŠPATNĚ,

OPRAVA: jejich společným definičním oborem je uz. interval $\left[-\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}\right]$ ,

Nicméně těch implicitních funkcí - takové zadání je silně nekorektní.

Pokud jde o rychlou metodu: šlo by vyšetřit extrémy funkce $u(x) = x^4-x^2$ na uvedeném intervalu a pak úsudkem se dobrat k resumé pro funkce (1).

peacemaster · 24. 05. 2012 19:19

↑ Rumburak:
děkuji, nicméně mám obavu, že takto bych na to sám nepřišel, já umím postupovat pouze způsobem jaký jsem nastínil ve svém prvním příspěvku a vyjádření explicitních funkcí které jste napsal, tak na ty bych takto určitě sám nepřišel. je můj postup z prvního příspěvku alespoň trochu korektní? je to postup, který jsem nastudoval zde: Odkaz pokud ne, co musím dostudovat?

děkuji

jelena · 24. 05. 2012 23:56

↑ peacemaster:

vážený kolega Rumburak, budu doufat, že doporučí něco efektivního.

Mne ještě napadá varianta vypočítat 2. derivaci "v nevyjádřeném tvaru" a bez dosazování výrazu 1. derivace. Budou se v ni objevovat násobky 1. derivace (která je v některých bodech podezřelých z extrému nulová (ještě jsou neexistující)), tedy při ověřování konkrétních bodů část výrazu se vynuluje a ověření bude rychlejší.

doplněno: y=0 vyloučím, jelikož není splněna podmínka f_y nenulové.

Rumburak

↑ peacemaster:

Úlohy v písemkách někdy bývají postaveny tak, aby otestovaly spíše orientaci v problému a kreativitu než početní rutinu.

Tu metodu, co jsem popsal posledně (v příspěvku ↑ Rumburak:) se ještě pokusím rozvést - nic efektivnějšího mně od té dpoby nenapadlo.

Funkce

$y_i(x) = \pm \sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1 - 4(x^4-x^2)}}{2}}$

vznikly složením funkcí

$g_i(u) = \pm \sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1 - 4u}}{2}}$

proměnné EDIT: $u \in \[ 0, \frac{1}{4}\]$ s funkcí $u = u(x) = x^4-x^2$ , $x \in I :=\left[-\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}, \,\,\,\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} \,\,\right]$ .
Podrobněji nechť

$g_1(u) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{1 - 4u}}{2}}$ ,
$g_2(u) = - \sqrt{\frac{1+ \sqrt{1 - 4u}}{2}}$ ,
$g_3(u) = \sqrt{\frac{1- \sqrt{1 - 4u}}{2}}$ ,
$g_4(u) = - \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - 4u}}{2}}$ .

EDIT. Funkce $g_1 , g_2$ jsou - narozdíl od funkcí $g_1 , g_2$ - definovány i pro libovolné $u < 0$ .

Všechny funkce $g_i(u)$ jsou dále poskládány z ryze monotonních funkcí, takže snadno nahlédneme, že např. funkce
$1 - 4u$ a tedy i $\sqrt{1 - 4u}$ atd. až $g_1(u)$ jsou klesající a $g_2(u) = -g_1(u)$ je rostoucí , obdobně $g_3(u)$ je rostoucí a $g_4(u)$ klesající.

Nyní můžeme říci např. toto:

Je-li v bodě $c \in I$ lok. maximum funkce $u(x)$ (vyšetřit extrémy této funkce je relativně snadné), potom:

funkce $y_i(x) = g_i(u(x))$

EDIT: pokud je v bodě $c$ definována,

má v tomto bodě lok. maximum resp. lok. minimum podle toho, zda funkce $g_i(u)$ je rostoucí nebo klesající .

Obdobnou úvahu použijeme na případ, kdy v bodě $x \in I$ je lok. minimum funkce $u(x)$ .

Tvoji metodu ještě podrobně překontroluji (na první pohled mi připadá v pořádku, i když mi z ní běhá mráz po zádech :-) ) , ale na web se dostanu
až po neděli. Třeba do té doby pomůže i někdo další.

Rumburak

↑ peacemaster:

Ano, tato cesta je také správná.
Ještě bychom měli zdůvodnit korektnost tohoto postupu, tj. ukázat, že jednotlivé lokální a hladké implicitní funkce "procházející" nalezenými body
skutečně existují. K tomu může pomoci buďto úvaha o řešitelnosti příslušné bikvadratické rovnice $F(x, y)=0$ (s neznámou y a parametrem x),
nebo kontrola, zda $\frac{\partial F}{\partial y} \ne 0$ v odpovídajících bodech [x, y] - pak by podle věty o implicitní funkci byla její lokální jednoznačná existence zaručena.
Ta druhá možnost mi zde ale nepříjde jako příliš efektivní, protože výpočet y z rovnice $F(x_i, y)=0$ (či jiný postup, jak ukázat, že pro tyto kořeny
je $\frac{\partial F}{\partial y} \ne 0$ ) nutno rovněž provést, navíc se ochudíme o bod [0, 0] , kde $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ (IF není určena jednoznačně).

Otrocky vyšetřovat všechny podezřelé body nemusíme, stačí omezit se na jeden kvadrant a pak využít skutečnosti, že úloha je symetrická podle obou
souřadnicových os.

Do svého předchozího příspěvku jsem doplnil některá upřesnění. Úloha je opravdu velmi komplikovaná a myslím, že se hodí spíše na klasifikovaný
referát než do písemky.

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2012 14:52 — Editoval peacemaster (24. 05. 2012 15:39)

lokální extrémy implicitně zadané funkce

#2 24. 05. 2012 15:14 — Editoval Rumburak (24. 05. 2012 15:15)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#3 24. 05. 2012 15:20 — Editoval peacemaster (24. 05. 2012 15:40)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#4 24. 05. 2012 15:31 — Editoval Rumburak (24. 05. 2012 15:35)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#5 24. 05. 2012 15:34

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#6 24. 05. 2012 15:39

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#7 24. 05. 2012 15:39 — Editoval peacemaster (24. 05. 2012 15:41)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#8 24. 05. 2012 16:18 — Editoval Rumburak (25. 05. 2012 10:19)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#9 24. 05. 2012 19:19

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#10 24. 05. 2012 23:56

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#11 25. 05. 2012 15:29 — Editoval Rumburak (29. 05. 2012 09:08)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

#12 29. 05. 2012 09:40 — Editoval Rumburak (29. 05. 2012 09:54)

Re: lokální extrémy implicitně zadané funkce

Zápatí