Matematické Fórum

Skrytý text:
Abychom sestrojili středy kružnic opsaných trojúhelníkům EAB, EBC, ECD, EDA, musíme sestrojit osy stran EA, EB, EC, ED. Je zřejmé, že dvojice os EA, EC a EB, ED jsou rovnoběžné, a proto O1O2O3O4 je rovnoběžník. Protější úhly v rovnoběžníku jsou shodné, aby to byl navíc tětivový čtyřúhelník, musí být oba pravé. Proto O1O2O3O4 je tětivový čtyřúhelník právě tehdy, když se jedná o obdélník. Kdy se jedná o obdélník? Označme A1, B1, C1, D1 středy úseček EA, EB, EC, ED, jimiž prochází osy stran. A1O1B1E je tětivový čtyřúhelník (má pravé úhly EA1O1, EA2O1), úhel A1O1B1 je pravý tehdy a jen tehdy, když i úhel A1EB1 je pravý, tj. úhlopříčky AC a BD jsou na sebe kolmé. Proto i trojúhelníky ABE, BCE, CDE, DAE jsou pravoúhlé, takže jejich středy kružnice opsané O1, O2, O3, O4 leží na středu přepon AB, BC, CD, DA. Ukážeme, že čytřúhelník P4O4O1P1 je tětivový čtyřúhelník. Podle definice jsou P1, P4 paty výšek, takže trojúhelníky AEP1, AEP4 jsou oba pravoúhlé. Platí v nich proto Euklidova věta o odvěsně - AE*AE = AP1*AB, AE*AE = AP4*AD, srovnáním máme AP1*AB = AP4*AD. S ohledem na to, že O1 je střed AB a O4 je střed AD, tak máme AB = 2*AO1, AD = 2*AO4. Dosadíme-li do naší rovnosti a pak ji vydělíme dvěmi, dostáváme AP1*AO1 = AP4*AO4, tj. podle mocnosti bodu ke kružnici je O1P1P4O4 tětivový čtyřúhelník. Odtud rovněž plyne, že úhly AP4P1, AO1O4 jsou shodné. Analogicky dvojice úhlů (BP2P1, BO1O2), (CP2P3, CO3O2), (DP4P3, DO3O4) jsou shodné.
Co musí platit, aby čtyřúhelník P1P2P3P4 byl tětivový? Součet protějších úhlů P1P2P3 a P3P4P1 musí dát 180 stupňů. Úhel P1P2P3 se dá vyjádřit jako (180 - CP2P3 - BP2P1), úhel P3P4P1 jako (180 - DP4P3 - AP4P1). To se dá podle rovností nahoře dá přepsat jako P1P2P3 = (180 - CO3O2 - BO1O2), P3P4P1 = (180 - DO3O4 - AO1O4). Součet je tedy (360 - AO1O4 - BO1O2 - CO3O2 - DO3O4). Úhly AO1O4 a BO1O2 ale dávají dohromady zřejmě 90 stupňů, stejně tak úhly CO3O2 a DO3O4 dávají dohromady 90 stupňů, takže součet úhlů P1P2P3 a P3P4P1 dá (360 - 90 - 90) = 180, takže P1P2P3P4 je skutečně tětivový čtyřúhelník.
Tím je jedna implikace dokázána. S tou druhou se potrápím někdy přes týden.

Jinak z obrázku jde vidět, že bod S (střed kružnice opsané čtyřúhelníku ABCD), bod O (střed kružnice opsané čtyřúhelníku O1O2O3O4), a průsečík úhlopříček E jsou kolineární body a O půlí úsečku SE. Dále kružnice opsané trojúhelníkům O1O2O3O4 a P1P2P3P4 splývají v jednu, je to jakási analogie Feuerbachovy kružnice a Eulerovy přímky pro tětivový čtyřúhelník s kolmými úhlopříčkami.
Další postřeh - každá trojice bodů O(i), E, P((i+2) mod 4) je kolineární -- Brahmaguptova věta), takže lze velice snadno dokázat, že například čytřúhelníky O1P1P3O3 a O2P2P4O4 jsou tětivové.

Skrytý text:
Jak jsem slíbil, dodělám i druhou implikaci. Uvažme tedy, že P1P2P3P4 je tětivový čtyřúhelník. Postupně odtud odvodíme, že úhlopříčky AC a BD jsou na sebe kolmé. Pokud jsou P1, P2, P3, P4 paty kolmic z bodu E, tak příslušné vnitřní úhly čtyřúhelníků AP1EP4, BP2EP1, CP3EP2, DP4EP3 jsou pravé a jedná se o tětivové čtyřúhelníky. Součet protějších vnitřních úhlů P1P2P3 a P3P4P1 v tětivovém čtyřúhelníku P1P2P3P4 je roven 180 stupňů. Odtud máme (180 - P1P2P3) + (180 - P3P4P1) = 360 - 180 = 180 (**). Jednotlivé závorky se ale dají přepsat jako (P1P2B + P3P2C), (DP4P3 + P1P4A). Dále zřejmě díky tětivovostem čytřúhelníků AP1EP4, BP2EP1, CP3EP2, DP4EP3 můžu toto přepsat jako (P1EB + P3EC), (DEP3 + P1EA). Tyto závorky musejí podle (**) dát součet 180 stupňů. Geometricky ale tyto dvě závorky ale dávají součet úhlů AEB, CED, které jsou zjevně shodné. Proto každý z těchto dvou úhlů má velikost 90 stupňů a úhlopříčky jsou zjevně kolmé. Odtud plyne, že střed kružnic opsaných trojúhelníkům AEB, BEC, CED, DEA jsou středy Thaletových kružnic nad průměry AB, BC, CD, DA, tj. středy těchto úseček. Zbytek úvahy je proveden v první části důkazu.

Skrytý text:
Moje riešenie:

V tetivovom štvoruholníku platí, že trojuholníky majú pri vrcholoch ostré uhly. To použijeme pri upresnení polohy skúmaných bodov.

Spoločná tetiva pretínajúcich sa kružníc je kolmá na spojnicu stredov týchto kružníc. Z toho vyplývajú pravé uhly znázornené na prvom obrázku. Odtiaľ je už jasne vidieť, že body ležia na kružnici práve vtedy, keď sú uhlopriečky na seba kolmé.

Aj v druhej situácií je vďaka tetivovým štvoruholníkom situácia jasnejšia. Prenesením uhlov nie je ťažké ukázať, že . Odtiaľ dostávame, že body ležia na jednej kružnici práve vtedy, keď sú uhlopriečky na seba kolmé.

Tým je úloha vyriešená.