Matematické Fórum

Ahoj, vzhledem k tomu, že polynom a je prvkem R2[x], ale nelze ho zapsat jako lineární kombinaci vektorů z množiny M, tak z toho už vyplývá, že prvky množiny M negenerují prostor R2[x] ;)

cv napsal(a):

↑ vosa:
Chápu že ho nemohou generovat všechny tři, protože třetí je lin. kombinaci prvnich dvou.

Ale soubor generátorů přeci vůbec nemusí být lineárně nezávislý. To si pleteš s bází, to je lineárně nezávislý soubor vektorů, který lze vybrat ze souboru generátorů.Prostor R2[x] má dimenzi 3, takže soubor generátorů musí mít nejméně tři vektory.

Ty tři vektory z množiny M generují pouze nějaký podprostor prostoru R2[x], který má dimenzi 2. Což plyne z té matice.

Kdyby se jednalo v tomto příkladě o soubor generátorů prostoru R2[x], pak by v jeho lineárním obalu musel ležet každý vektor, který je prvkem R2[x], ale jak jsi sám zjistil, vektor a není lineární kombinací vektorů z množiny M, čili NELEŽÍ v lineárním obalu těchto vektorů, ale JE prvkem R2[x], z toho opět plyne, že prvky množiny M negenerují prostor R2[x].

cv napsal(a):

Ve vysledku bude prostor generovany prvnimi dvema polynomi množiny M to same, jako jejich linearni obal. Pravda?

Ano toto je pravda, jinými slovy soubor generuje svůj vlastní lin. obal, to je triviální důsledek definice souboru generátorů.

zřejmě jako i u jiných termínů v matematice jde o to, abychom něco jednoduše nazvali, a nemuseli to pokaždé opisovat pomocí vlastností.
Tak například bázi prostoru V definujeme jako lineárně nezávislý soubor generující prostor V, místo abychom psali, že je to lineárně nezávislý soubor, jehož lineární obal se rovná prostoru V.

Ano chápeš to správně, ale nevím proč nad tím tolik hloubáš, stačí když si rozmyslíš definici dimenze, báze a generujícího souboru.

Tak máš pravdu, že ty termíny se často překrývají. Ale není to to samé. lineární obal je pouze speciální případ lineárního prostoru. Báze je pouze speciální případ generujícího souboru. Napadá mě k tomu ještě tohle: v tom tvém příkladu je množina M. Označím teď její prvky třeba m1, m2, m3. Soubor (m1, m2, m3) generuje svůj lineární obal - nějaky podprostor prostoru R2[x] - nazvěme ho třeba V. Víme, že báze prostoru V má dva prvky. Víme že ji lze vybrat ze souboru generátorů (m1, m2, m3). A můžeš mi teď říct - podle svého předchozího výroku:

cv napsal(a):

proč soubor lineárně závislých vektorů nazývat generátory, když prostor generují jen ty vektory z tohoto souboru, které jsou lineárně nezávislé - tedy báze.

které z těch tří vektorů "konkrétně" generují prostor V a jsou tedy báze?
Podle mne báze může být soubor (m1, m2) stejně tak dobře jako (m2, m3), nebo dokonce (m1, m3). A nebo i (m2, m1).

Jde o to, že máme nějaký jev, se kterým se často setkáváme a potřebujeme ho nějak označit, odlišit od ostatních jevů, které jsou skoro stejné ale v něčem se přeci liší. Proto ho nějak nazveme, abychom ho nemuseli pokaždé znovu popisovat.