Matematické Fórum

akt/fakt

Zdravím. Potřeboval bych pomoci s následujícími příklady. Maturita se blíží a mně to nějak nejde. Byl bych rád, kdybyste mohli prosím napsat i postupy. Děkuju moc :-)

1) Najsi rovnici tečny/tečen ke křivce K: $y=x^{3} - x^{2} - 2x$ v bodech M, N a P, kde M, N a P jsou body průniku mezi K a osou x.

2) Najděte poloměr a šířku válcové nádrže, pokud je jeho plocha co nejmenší. Objem nádrže je 3200 l.

3) Auto se rozjíždí z klidu a pohybuje se vzdáleností s metrů v t sekundách, kde $s=\frac{1}{6}t^{3} + \frac{1}{4}t^{2}$ . Jaké je výchozí zrychlení a zrychlení na konci 2. sekundy?

akt/fakt · 26. 05. 2012 21:59

4) Vyjádřete první derivativ funkce f: $y=ln(e^{x}cosx + e^{-x}sinx)$ .

5) Odvoďte vzorec pro derivaci $y=x^{3}$ .

6) Vypočtěte první a druhou derivaci funkce f: $y=(1+x^{2})$

Předem děkuji moc za odpovědi :-).

thriller · 26. 05. 2012 22:00

1) Směrnice tečny křivky v nějakém bodě je hodnota derivace v tom bodě, takže postup: najdi ty průsečíky, zderivuj funkci K a postupně dosaď x souřadnice průsečíků

2) napiš vzorec pro obsah stěn válcové nádrže, napiš ho jako funkci poloměru r a šířky š. Pak si ze vzorce pro objem vyjádři buď r nebo š a dosaď do funkce pro obsah. No a teď máš obsah zapsán jako funkci r (nebo š). A obsah je nejmenší, když má funkce minimum. Když má funkce minimum, její derivace musí být rovna nule.

3) okamžitá rychlost je 1. derivace polohy, okamžité zrychlení je 2. derivace.

Tolik pro začátek:)

thriller · 26. 05. 2012 22:04

4) derivace složené funkce a součinu: ukážu ti na příkladě a ty podle toho doděláš zbytek:
$y=\ln(e^x \sin(x))$
$y'=\frac{1}{e^x \sin(x)}[e^x \sin(x)]'=\frac{1}{e^x \sin(x)}(e^x \sin(x)+e^x \cos(x))$
OK?

thriller · 26. 05. 2012 22:09

5) není nic jiného, než použití definice derivace v bodě:
Derivace funkce $y=x^{3}$ v nějakém libovolném bodě x0 z jejího definičního oboru je: $y'=\lim_{x\to x_0}\frac{x^{3}-x^{3}_0}{x-x_0}$ . A teď stačí podělit ten zlomek a "dosadit" za x x0.

6) to snad ne...

akt/fakt · 26. 05. 2012 22:26

Aha, já u toho 4. pořád derivoval špatně to $e^{-x}$ . A jak jsem to počítal stále a stále, tak jsem pomotal i ten přir. log. Jo, děkuju, snad na ty příklady teď už příjdu.

A takže ten 3. př. To výchozí zrychlení bude $t+\frac{1}{2}$ ? A to zrychlení ve 2. sekundě $t+\frac{1}{2} + 2t$ ? Díky :-)

thriller · 26. 05. 2012 22:31

Ano, zrychlení v libovolném čase t bude t+1/2. Ale zrychlení v čase t=2 bude jinak, za t dosadíš 2.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

akt/fakt · 26. 05. 2012 22:34

Takže zrychlení na konci 2s je $\frac{5}{2}$ .

thriller · 26. 05. 2012 22:38

Ano

akt/fakt · 26. 05. 2012 22:42

Děkuju. A můžu poprosit teda ještě jen o kontrolu té 6.

1. derivativ $y=\frac{1}{(1+x^{2})}$
2. derivativ $y=\frac{1+x^{2}-2x}{1+2x^{2}+x^{4}}$ ? Díky

thriller · 26. 05. 2012 22:46

Nezlob se, ale já tam vidím funkci (1+x^2), ta má derivace 2x a 2.

akt/fakt · 26. 05. 2012 22:48

Aha, já v tom prvním zadání vynechal $y=ln (1+x^{2})$

thriller · 26. 05. 2012 22:50

Ach tak. Tak v tom případě máš derivaci špatně. V první drivaci jsi sice správně zderivoval logaritmus na $\frac{1}{(1+x^{2})}$ , ale zapoměl jsi vynásobit derivací vnitřku toho logaritmu.

akt/fakt · 26. 05. 2012 22:58

Aha, takže to bude vypadat jak? To moc nechápu ? Jakože $y=\frac{1}{(1+x^{2})}\cdot 2x$ ?

thriller · 26. 05. 2012 22:59

Ano přesně

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:02

a 2. derivace $y=\frac{(1+x^{2})-4x^{2}}{1+2x^{2}+x^{4}}$ ?

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:07

a úplně 1. příjklad má být $y=\frac{e^{x}(-sin(x))-e^{x}cos(x)}{e^{x}cos(x)+e^{-x}sin(x)}$ ?? díky

thriller

$y=\frac{2x}{(1+x^{2})} \Rightarrow y'=\frac{(2x)' \cdot (1+x^{2}) - (2x) \cdot (1+x^{2})'}{(1+x^{2})^2} = \frac{2 \cdot (1+x^{2}) - (2x) \cdot (2x)}{(1+x^{2})^2}=\frac{(2-2x^{2})}{(1+x^{2})^2}$ , aspoň myslím:)

Edit: opraven překlep, chybějící mocnicna za posledním rovnítkem.

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:15

jo takhle a nema tam teda být ve výsledku v čitateli 2-2x^2 ? ↑ thriller:

thriller · 26. 05. 2012 23:16

K té druhé otázce (↑ akt/fakt:), jmenovatel je dobře, čitatel ne. Tam bude $(e^{x}-e^{-x}){(cos(x)-sin(x))}$

thriller · 26. 05. 2012 23:18

↑ akt/fakt: Ano má, již jsem to opravil. Jsem rád, že dáváš pozor:)

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:20

Ok. Ale teĎ zas nechápu ten tvůj čitatel :/. u toho příkladu s e^x apod.

thriller · 26. 05. 2012 23:29

$y = ln (e^{x}{cos(x)} + e^{-x}{sin(x)}) \Rightarrow y'= \frac{(e^{x})'{cos(x)}+e^{x}{(cos(x))'}-(e^{-x})'{sin(x)}+e^{-x}{(sin(x))'}}{(e^{x}{cos(x)} + e^{-x}{sin(x)})}$
$=\frac{(e^{x}{(cos(x)-sin(x))}-e^{-x}{(cos(x)-sin(x))}}{(e^{x}cos(x) + e^{-x}sin(x))}$

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:30

Ještě jsem teda došel k novému závěru $y=\frac{e^{x}(-sin(x))+e^{-x}cos(x)}{e^{x}cos(x)+e^{-x}sin(x)}$ . Ale k tomu tvému vůbec.

akt/fakt · 26. 05. 2012 23:32

Jo, mrknu na to. Díky↑ akt/fakt:

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2012 21:47 — Editoval akt/fakt (26. 05. 2012 21:49)

Derivace

#2 26. 05. 2012 21:59

Re: Derivace

#3 26. 05. 2012 22:00

Re: Derivace

#4 26. 05. 2012 22:04

Re: Derivace

#5 26. 05. 2012 22:09

Re: Derivace

#6 26. 05. 2012 22:26

Re: Derivace

#7 26. 05. 2012 22:31

Re: Derivace

#8 26. 05. 2012 22:34

Re: Derivace

#9 26. 05. 2012 22:38

Re: Derivace

#10 26. 05. 2012 22:42

Re: Derivace

#11 26. 05. 2012 22:46

Re: Derivace

#12 26. 05. 2012 22:48

Re: Derivace

#13 26. 05. 2012 22:50

Re: Derivace

#14 26. 05. 2012 22:58

Re: Derivace

#15 26. 05. 2012 22:59

Re: Derivace

#16 26. 05. 2012 23:02

Re: Derivace

#17 26. 05. 2012 23:07

Re: Derivace

#18 26. 05. 2012 23:10 — Editoval thriller (26. 05. 2012 23:17)

Re: Derivace

#19 26. 05. 2012 23:15

Re: Derivace

#20 26. 05. 2012 23:16

Re: Derivace

#21 26. 05. 2012 23:18

Re: Derivace

#22 26. 05. 2012 23:20

Re: Derivace

#23 26. 05. 2012 23:29

Re: Derivace

#24 26. 05. 2012 23:30

Re: Derivace

#25 26. 05. 2012 23:32

Re: Derivace

Zápatí