Matematické Fórum

LRJ1 · 26. 05. 2012 07:06

Prosím o radu s touto limitou: $\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{xy-y-x+1}$ Vychází 0/0, ale L'Hospitalovo pravidlo se asi nemůže nebo nedá použít???

lukaszh · 26. 05. 2012 10:09

↑ LRJ1:

Pomôže napríklad úprava
$xy-y-x+1=(x-1)(y-1)$

Potom jednoduchou substitúciou ekvivalentne riešiš limitu
$\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(0,0)}\frac{\tilde{x}^2+\tilde{y}^2}{\tilde{x}\tilde{y}}$

LRJ1 · 26. 05. 2012 11:13

↑ lukaszh: Tomu moc nerozumím. Mohl by jsi mi rozepsat ty úpravy a substituci? Děkuji.

lukaszh · 26. 05. 2012 15:58

↑ LRJ1:

$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{xy-y-x+1}=\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{(x-1)(y-1)}$

Zavedieme substitúciu
$x-1=\tilde{x}\\y-1=\tilde{y}$

Dostaneme
$\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(0,0)}\frac{\tilde{x}^{2}+\tilde{y}^{2}}{\tilde{x}\tilde{y}}$

LRJ1 · 26. 05. 2012 23:05

↑ lukaszh: OK, už rozumím, ale proč je najednou místo (1,1), že (x,y)->(0,0)? To je při každé substituci? A při Tvém výpočtu následuje L'Hospitalovo pravidlo?

jarrro · 28. 05. 2012 15:09

↑ LRJ1:keď x ide k jednej tak k čomu ide x-1?
ja si neviem predstaviť ako by lhospital vyzeral pre dva rozmery možno to existuje, ale ešte som o tom nepočul

Cynyc · 28. 05. 2012 16:59 — Editoval Cynyc (28. 05. 2012 17:07)

↑ LRJ1: L'Hospital tu nepomůže, ten je pro limity jedné proměnné. Limity dvou proměnných jsou jiné a mnohem těžší, výpočet má obecně formu důkazu z definice limity. Tento případ je jednoduchý, protože limita neexistuje a dá se to dokázat nerovností dvou limit "po křivkách". Konkrétně když zvolíš y=x, dostaneš 2, když y=-x, dostaneš -2 (samozřejmě obojí už v té substituované limitě k (0,0)).

Tomas.P · 28. 05. 2012 17:18

↑ LRJ1:
$\lim_{x,y\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{xy}$ , $y=kx$ , $\lim_{x\to0}\frac{x^2+{k^2}{x^2}}{{x^2}k}=\lim_{x\to0}\frac{x^2(1+{k^2})}{{x^2}k}=\frac{1+k^2}{k}$

Cynyc · 28. 05. 2012 17:57

↑ Tomas.P: Chtělo by to trochu okomentovat, jinak si chudák bude myslet, že je to výsledek.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2012 07:06

Limita dvou proměnných

#2 26. 05. 2012 10:09

Re: Limita dvou proměnných

#3 26. 05. 2012 11:13

Re: Limita dvou proměnných

#4 26. 05. 2012 15:58

Re: Limita dvou proměnných

#5 26. 05. 2012 23:05

Re: Limita dvou proměnných

#6 28. 05. 2012 15:09

Re: Limita dvou proměnných

#7 28. 05. 2012 16:59 — Editoval Cynyc (28. 05. 2012 17:07)

Re: Limita dvou proměnných

#8 28. 05. 2012 17:18

Re: Limita dvou proměnných

#9 28. 05. 2012 17:57

Re: Limita dvou proměnných

Zápatí