Matematické Fórum

darkmagic · 29. 05. 2012 00:11

Ahoj, chtěl bych se zeptat na výpočet Fourierovy řady (FŘ).

Mám příklad, kde je zadána fce $f(x) = x \text{ pro } x \in (-\pi,0>; 0 \text{ pro } x \in (0,\pi)$ a víme, že perioda je $T = 2\pi$ .

Z přednášek mám zapsaný vzorce pro výpočet jednotlivých koeficientů FŘ. Začnu třeba u koeficientu $a_0$ , vzorec je $a_0 = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$ .

Podívám se na uvedený příklad a říkám si, jaké meze u integrálu napsat: můžu napsat $-\int_{0}^{\pi}$ (vynechal jsem část od 0 do pí a pro část od -pí do 0 jsem meze prohodil a před integrál dal mínus)? Nebo musím opravdu použít celé T? Ohledně mezí nemám moc jasno.

Třeba když bych měl fci $f(x) = x^2 \text{ pro } x \in <0,1), T = 1$ , tak není nad čím váhat a meze jsou od 0 do 1. Mate mě, když na části intervalu (v rámci jedné periody) je funkce nulová.

Děkuji za názory

jardofpr · 29. 05. 2012 11:51

ahoj ↑ darkmagic:

povedal by som že rad tejto funkcie bude mať rozvetvený predpis

Fourierov rad nulovej funkcie má všetky koeficienty nulové,
to sa týka intervalu $[0,\pi]$

rozvoj tejto funkcie na intervale $[-\pi,0]$ ktorá je ale $2\pi$ periodická môžeš nájsť napr.tak,
že nájdeš rozvoj do F.radu jej nepárneho predĺženia na interval dĺžky $2\pi$
to bude funkcia $g(x)=x\,,\,x \in [-\pi,\pi]$

Potom tento rozvoj bude platiť určite pre $f(x)$ na intervale $[-\pi,0]$

mal by si sa dostať k výsledku,
že na intervale $[-\pi,0]$ má rad tvar $\mathcal{F}(x;f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2. (-1)^{n+1}}{n}\,\sin{(nx)}$

darkmagic · 29. 05. 2012 13:35

↑ jardofpr:
Předně díky za reakci.

Mám tedy tu moji funkci, která není lichá ani sudá. Ty píšeš, že pro nulovou funkci na intervalu $[0,\pi]$ jsou koeficienty nulové. Dobře, takže to znamené, že FŘ pro tento interval je $\mathcal{F}(x;f)=0$ . Je to tak?

Pak k tomu zbytku intervalu $[-\pi,0]$ . Proč jsi navrhnul udělat právě liché periodocké prodloužení?
Když počítám koeficienty pro liché per. prodloužení, tak $a_0$ a $a_n$ jsou rovny nule, pro $b_n = \frac{2}{T}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin (\frac{2n\pi x}{T})dx$ mi vyjde $\frac{2. (-1)^{n+1}}{n}$ , což odpovídá tomu tvému $\mathcal{F}(x;f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2. (-1)^{n+1}}{n}\,\sin{(nx)}$ . To je celý výsledek? Mám z toho pocit, jako bych ten příklad nějako moc očesal..

________________________________
Když jsem to zkoušel počítat, tak jsem uvažoval asi takto:
Klasicky budu chtít všechyn koeficienty $a_0, a_n, b_n$ a ty pak dosadím. Pak jsem si říkal: dobře, mám v koeficientech integrál, dle vzorce od 0 do T. Co mi brání ho rozdělit na dva intervaly? Na $[-\pi, 0]$ a pak na $[0,\pi]$ . Pro případ $[0,\pi]$ mi vyjde nula, pro druhý případ jen otočím meze a před integrál dám mínus. Takto bych spočítal všechny koeficienty. Je tento postup nesmyslný?

jardofpr · 29. 05. 2012 16:25

↑ darkmagic:

$\mathcal{F}(x;f)=0$ áno je to jednoducho nekonečný súčet samých núl

nepárne predĺženie som zvolil kvôli tomu že funkcia $f(x)=x$ je nepárna

okrem toho platí že ak majú dve identické funkcie Fourierove rady tak
tieto rady sú identické a majú rovnaké všetky koeficienty

v tomto prípade som teda našiel Fourierov rad pre funkciu $f(x)=x$ pre $x \in [-\pi,\pi]$

keďže platí pre $x \in [-\pi,\pi]$ určite platí aj pre $x \in [-\pi,0]$

súčet Fourierovho radu funkcie v danom bode je lokálna vlastnosť,
tento súčet vlastne závisí od funkčných hodnôt v ľubovoľne malom okolí dotyčného bodu

preto tvojim postupom sa k správnym koeficientom nedopracuješ,
lebo napríklad pre bod $x=-1$ je to čo sa deje napravo od nuly
v konečnom dôsledku úplne irelevantné
(vlastne sa dá povedať, že aj to čo sa deje napravo od -1 je úplne irelevantné)
o tomto ti viac môže napovedať veta s názvom Princíp lokalizácie (Riemann)

darkmagic

Dobře, díky. Zdá se mi to už jasnější.
Mějme tedy třeba funkci $f(x) = cos(x)\text{ pro }x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}); 0 \text{ pro }x \in (-\pi,-\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$ , perioda $T = 2\pi$ .
Budu postupovat tak, že provedu sudé periodické prodloužení, budu tedy počítat pouze koeficienty $a_0$ a $a_n$ , $b_n$ bude nulové. Integrovat budu přes celý interval $(-\pi, \pi)$ (případně 2 krát integrál v mezích od $(0, \pi)$ ).

Chápu to správně?

Mj. minulý příklad jsi počítal ručně, nebo na to je nějaký nástroj?

jardofpr

↑ darkmagic:

dá sa tento príklad takto spočítať
predĺženie $cos$ sa z $[-\pi/2,\pi/2]$ urobí párne trebárs v bode $\pi/2$ na interval $[-\pi/2,3\pi/2]$
a integrál sa môže počítať na ľubovoľnom intervale dĺžky $2\pi$

ale to je len jedna cesta, a ako som povedal veľmi záleží na predpise funkcie v skúmanom bode
pri týchto rozvetvených predpisoch

myslím že by si rovnako dobre mohol prehlásiť funkciu za $\pi$ periodickú (tú nenulovú časť)
a počítať pomocou vzorcov pre periodu $\pi$

vždy sa snažím počítať ručne, nástroje sa snažím využívať len keď je to nutné
najčastejšie wolfram alebo na komplikovanejšie numerické výpočty Matlab

darkmagic · 29. 05. 2012 18:02

1.

jardofpr napsal(a):
dá sa tento príklad takto spočítať

Tímto jsi myslel, že to, co jsem navrhl já, je použitelné, nebo jsi jen začal tvůj příspěvěk s tím, že text pod touto tvou větou je ten správný?
Omlouvám se, že jsem to z toho nepochopil.

2.Ty teďka píšeš, že integrál sa môže počítať na ľubovoľnom intervale dĺžky $\pi$ , přičemž se to týká fce s periodou $2\pi$ . U příkladu výše (1. příklad v 1. příspěvku) byla také perioda $2\pi$ , ale integrál se počítal na intervale $2\pi$ . Je to kvůli tomu, že první příklad bylo liché prodloužení a zde je sudé?

jardofpr

↑ darkmagic:

2.má to byť dva $2\pi$ už som to opravil, vďaka za upozornenie

1.to bolo že dá sa to tak ako píšeš

samozrejme takto vypočítaný rad je platný len pre nenulovú časť funkcie, lebo sa počíta "z nej"

darkmagic · 29. 05. 2012 19:07

↑ jardofpr:
Tak to jsem rád, že se to moje dá použít. Myslím, že jsem už zhruba pochopil, co a jak.
Díky za pomoc

edit:
Tak jsemto zkusil spočítat a vyšly mi koeficienty $a_0$ i $a_n$ rovny nule ( $b_n$ je nula, protože sudé prodloužení). Tedy $\mathcal{F}(x;f)=0$ .
Souhlasíš se mnou? Mně se to moc nelíbí.

jardofpr

↑ darkmagic:

nie to nie je dobre
$\cos{x}$ je zvláštny prípad

v zmysle skalárneho súčinu daného predpisom

$(f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$

v priestore intergrovateľných funkcií na intervale $[-\pi,\pi]$ ,
je funkcia $\cos{x}$ kolmá na takmer všetky funkcie typu
$\sin{(nx)}\,,\,n=1,2,\dots$ a $\cos{(nx)}\,,\,n=0,1,2,\dots$

jedinou výnimkou je ona sama

jediný nenulový člen radu teda bude

$a_{1}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos{(x)}\cos{(x)}\,\mathrm{d}x$

a platí

$\cos{x}=\mathcal{F}(x,\cos)=a_{1}\cos{(1.x)}=\cos{(x)}$

lebo $a_{1}$ vyjde 1

neviem ako sú pre teba tieto pojmy známe,
ale myšlienkou Fourierovho radu je vlastne rozklad funkcie do tvaru lineárnej kombinácie
vektorov tvoriacich ortogonálnu bázu priestoru integrovateľných funkcií definovaných na intervale

každý jeden člen je projekcia zadanej funkcie do podpriestoru generovaného prvkom
$\cos{(nx)}$ alebo $\sin{(nx)}$ (pre iné periódy samozrejme tieto funkcie vyzerajú inak)

keďže $\cos{(x)}$ je prvkom tejto bázy,
nedá sa napísať ako lineárna kombinácia ostatných členov

takisto jeho projekcia do podpriestorov generovaných ostatnými prvkami je nulová,
a keďže leží v podpriestore generovanom prvkom $\cos{x}$ , zobrazí sa sám na seba jedine do
tohto podpriestoru