Matematické Fórum

Kaniiisek

Potřeboval bych pomoct s příkladem, zadání je :
Obruč se valí po nakloněné rovině s rychlostí v, hmotností m a poloměru r. Jaká je jeho kinetická energie a jaká je dráha při úhlu 30 $^\circ$
. Z každou pomoc budu vděčný.

EDIT: Nedávej zadání do code. janca361

Honza90 · 29. 05. 2012 21:04

↑ Kaniiisek:
zde je to pro válec, pouze jiný moment setrvačnosti.

Kaniiisek · 29. 05. 2012 21:25

Pořád nemohu nějak dostat vzorec pro dráhu, pro Kin. energii mi vyšlo : $Wk =1/2 m\mathrm{v}^{2}+1/2*1/2m\mathrm{R}^{2}(v/R)=\frac{3}{4}mv^{2}$

Rumburak

↑ Kaniiisek:

Celý pohyb obruče je složen z oběhu jejích bodů okolo středu a z postupného pohybu jejího těžiště (středu) podél nakloněné roviny. Je-li $v$
okamžitá rychlost středu obruče vůči dráze, potom je to též společná rychlost bodů obruče vůči jejímu středu. Kinetická energie oběhu je $\frac {mv^2}{2}$
a stejná je i kinetická energie postupného pohybu, tedy celková kinetická enegie je

(1) $W_k = 2\cdot \frac {mv^2}{2}= mv^2$ .

Při "sjíždění" nakloněné roviny s odchylkou $30^{\circ}$ od vodorovné polohy platí, že přírůstku ujeté dráhy délky $\Delta s$ odpovídá pokles výšky

(2) $\Delta h = \Delta s\cdot \sin 30^{\circ} = \frac{\Delta s}{2}$ .

Nárůst kinetitická energie obruče (předpokládejme, že z nulové hodnoty) bude odpovídat úbytku energie potenciální, tedy $W_k = mg\Delta h$ .
Dosazením do tohoto vztahu z (1) a (2) obdržíme

$mv^2= mg\cdot \frac{\Delta s}{2}$ ,

odkud vypočteme dráhu $\Delta s$ .

EDIT. Koukám, že jsem nepoužil poloměr, tak si říkám, zda to nemám špatně. Chyba by mohla být v rovnici (1) .