Matematické Fórum

kuklator · 30. 05. 2012 21:19

Prosil bych prosím vypočítat tento příklad:
Napište osovou(středovou) rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnice a excentricitou e=2, která prochází bodem M( souřadnice jsou: 1 a 2třetiny odmocniny z desíti) a hlavní osa je totožná se souřadnicovou osou x.

elypsa · 30. 05. 2012 21:29

Zdravím.

Vyjádříme si co víme:

$S[0;0]$
$e=2$
hlavní osa totožná s osou x - proto $e^2=a^2+b^2$
prochází bodem M o tebou udaných souřadnicích
středová rovnice elipsy je : $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/8/e/c/8ecacfad148ed743160687b8ee194528.png$

Za x a y dosazujeme bod M. $a^2$ si lze vyjádřit z rovnice $e^2=a^2+b^2$ . Následně budeš řešit rovnici o jedné neznámé.

Takjo · 30. 05. 2012 21:40

↑ elypsa:
Dobrý večer,
obávám se, že pro výpočet excentricity platí: $e^2=a^2-b^2$

elypsa · 30. 05. 2012 21:42

Ano děkuji!
Blbě jsem si to tu označil:)

Omlouvám se, jinak by to měl obýt snad v pořádku.

Takjo · 30. 05. 2012 21:43

↑ elypsa:
OK, také děkuji... :)

kuklator · 30. 05. 2012 21:48

Díky Vám, po dosazení to krásně vyšlo jako ve výsledcích!

kuklator · 30. 05. 2012 22:46

[re]p290333|elypsa[/re Ještě takový menší problém- pořád nemůžu přijít jak si z tý excentritické rovnice získám to a kam ho dosadím a zjistím b?

Cheop · 31. 05. 2012 10:44 — Editoval Cheop (31. 05. 2012 14:23)

↑ kuklator:
Rovnice elipsy bude:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Dále víme:
$e^2=a^2-b^2$
Pro
$e=2\\4=a^2-b^2\\b^2=a^2-4$
Elipsa má procházet bodem $M=\left(1;\,\frac 23\sqrt{10}\right)$
Tento bod (jeho souřadnice) dosadíme do rovnice elipsy a dostaneme:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\\frac{1}{a^2}+\frac{40}{9(a^2-4)}=1\\9a^2-36+40a^2=9a^4-36a^2\\9a^4-85a^2+36=0$
Substituce $a^2=t$
$9t^2-85t+36=0\\t_{1,2}=\frac{85\pm\sqrt{85^2-36^2}}{18}\\t_1=9\\t_2=\frac 49$
Pro
$t_1=a^2=9\\b^2=a^2-4\\b^2=9-4=5$
Rovnice elipsy:
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$
Pro
$t_2=a^2=\frac 49\\b^2=\frac 49-4\\b^2\,<\,0\,\Rightarrow\,\text{nelze}$
Řešení viz výše