Matematické Fórum

Pravděpodobnost jevu A je míra - určuje, jak moc věříš, že jev A nastane. Teorie pravděpodobnosti je oblast matematiky, která se zabývá pravděpodobností. Kombinatorika je oblast matematiky, která se zabývá studiem objektů s nějakou strukturou - například ty objekty počítá - můžeme chtít spočítat pořadí závodu pro něž platí určitá vlastnost - například počet pořadí, kde se Petr umístil do 3. místa a získal nějakou medaili.

Otázka v příkladu "Kolika způsoby může hod dopadnout?" se ale neptá na pravděpodobnost. Musíme se ptát "Jaká je pravděpodobnost, že ...?". Například "Jaká je pravděpodobnost, že v prvním hodu padne 2?". Odpověď "Pravděpodobnost, že v prvním hodu padne 2, je 1/6" zapíšeme takto:

P(v prvním hodu padne 2) = 1/6

Zde je několik příkladů, které se ptají na pravděpodobnost. Zdůvodnění je dole.

0) P(v prvním hodu padne 2) = 1/6
1) P(v prvním hodu padne 6) = 1/6
2) P(v prvním hodu padne 2 a ve druhém 3) = 0
3) P(v prvním hodu padne 6 a ve druhém 2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
4) P(v prvním hodu padne 6 a ve druhém sudé číslo) = 3/36 = 1/12
5) P(ve druhém hodu padne 2, ale ještě jsme neházeli první hod) = 1/36
6) P(ve druhém hodu padne 2 a v prvním jsme hodili 6) = 1/6
7) P(ve druhém hodu padne 2 a v prvním jsme hodili 3) = 0


Jak už jsi spočítala, je 11 možností, jak hra může dopadnout - těmto možnostem se říká elementární jevy:

(1), (2), (3), (4), (5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Pro elementární jevy platí, že vždy nastane jeden z nich a nikdy nenastanou dva současně. Ostatní jevy pak odpovídají 0 nebo více elementárním jevům. Například jev "v prvním hodu padne 6" není elementární (není mezi těmi 11), ale my ho z nich poskládáme pomocí spojky "nebo":

v prvním hodu padne 6 = padne (6, 1) nebo (6, 2) nebo (6, 3) nebo (6, 4) nebo (6, 5) nebo (6, 6)

Když bychom znali pravděpodobnost elementárních jevů, tak pravděpodobnost ostatních jevů získáme sečtením pravděpodobnosti elementárních jevů, z nichž se skládá. Například:

P(v prvním hodu padne 6) = P(padne (6, 1)) + P(padne (6, 2)) + ... + P(padne (6, 6))

Pravděpodobnost všech jevů je tedy definována pomocí pravděpodobnosti elementárních jevů. Stačí tedy určit pravděpodobnost elementárních jevů. To můžeme udělat úplně libovolně - respektive měli bychom to dělat "rozumně". Například, když mi někdo řekne, že na kostce padá vždy 6 a nikdy nic jiného, tak pravděpodobnost elementárním jevům přiřadím následovně:

P((1)) = 0
P((2)) = 0
P((3)) = 0
P((4)) = 0
P((5)) = 0
P((6, 1)) = 0
P((6, 2)) = 0
P((6, 3)) = 0
P((6, 4)) = 0
P((6, 5)) = 0
P((6, 6)) = 1

S těmito pravděpodobnostmi pak platí:

P(v prvním hodu padne 6) = 1
P(ve druhém hodu padne 6) = 1
P(v prvním hodu padne liché číslo) = P((1)) + P((3)) + P((5)) = 0

Nyní odbočím a zkusím tohle vysvětlit na příkladu kdy házíme jenom jeden hod.
Napřed si zkus rozmyslet:
A) Co budou elementární jevy?
B) Jak přiřadíme pravděpodobnost elementárním jevům, když víme, že na kostce vždy padá 5?
C) Jak přiřadíme pravděpodobnost elementárním jevům, když o kostce nic nevíme?
D) Jak spočítáme pravděpodobnost jevu, že na kostce padne 1 nebo 6?

Příklad. Jeden hod šestistěnnou kostkou.

Budeme mít 6 elementárních jevů: padne 1, padne 2, padne 3, padne 4, padne 5, padne 6

Pro elementární jevy musí platit, že vždy nastane právě jeden - což platí, neboť nikdy nepadnou 2 čísla zároveň a vždy nějaké číslo padne.

Když bychom věděli, že vždy padá 5, tak elementárním jevům přiřadíme pravděpodobnost takto:
P(padne 1) = P(padne 2) = P(padne 3) = P(padne 4) = P(padne 6) = 0
P(padne 5) = 1

Když o kostce nic nevím, tak nemám důvod si myslet, že by nějaké číslo padalo více než jiné. Tudíž budu každé číslo očekávat stejnou měrou. V takovém případě musí pro pravděpodobnosti elementárních jevů platit

P(padne 1) = P(padne 2) = P(padne 3) = P(padne 4) = P(padne 5) = P(padne 6)

Protože vím, že vždy musí nastat nějaký elementární jev, tak součet pravděpodobností el. jevů musí být 1 (to platí vždy!):

P(padne 1) + P(padne 2) + P(padne 3) + P(padne 4) + P(padne 5) + P(padne 6) = 1

Význam součtu je "padne 1 nebo padne 2 nebo ... nebo padne 6" jinými slovy "něco padne"

Protože elementárních jevů je šest a mám mezi ně rozdělit 1, tak každému přiřadím pravděpodobnost 1/6. Tedy

P(padne 1) = P(padne 2) = P(padne 3) = P(padne 4) = P(padne 5) = P(padne 6) = 1/6

To, že na kostce padne 1 nebo 6 se spočte

P(padne 1 nebo 6) = P(padne 1) + P(padne 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Když by kostka měla n čísel, tak každému elementárnímu jevu přiřadím pravděpodobnost 1/n a pravděpodobnost jevu A spočtu

P(A) = (počet elementárních jevů kde platí A)/(počet všech elementárních jevů).

Tohle funguje díky tomu, že pravděpodobnost všech elementárních jevů je stejná!!! Tento vzorec však selže, když bychom měli falešnou kostku, kde padá pouze 6 - důvodem je různá pravděpodobnost elementárních jevů.

Shrnutí: Elementární jevy tedy popisují různé stavy světa po provedení náhodného pokusu - každý elementární jev určuje, jak by svět mohl vypadat po provedení pokusu - svět je plně popsaný. Často nás zajímá pravděpodobnost více světů zároveň - například jev "padla 1 nebo 6" splňují 2 světy - abychom zjistili jeho pravděpodobnost, musíme sečíst pravděpodobnosti jednotlivých světů (elementárních jevů).

Nyní zbývá vrátit se k původní hře, kde házíme dvakrát, když padla šestka, a vysvětlit, jak přiřadit pravděpodobnost elementárním jevům, když o kostce nic nevíme, a jak spočítat úkoly 0) - 7)

Nyní tedy k původní hře, kde házíme dvakrát, když padla šestka. Vzhledem k tomu, že o kostce nic nevíme, tak budeme chtít, aby každé číslo bylo v prvním hodu stejně pravděpodobné. Dále budeme předpokládat, že hod kostku nijak nezmění - tedy i v druhém hodu (pokud se na něj dostane) bude pst. všech čísel stejná.

Z toho, co jsem naspal, již můžeme přiřadit pst. následujícím jevům:

P(v prvním hodu padne 1) = 1/6
P(v prvním hodu padne 2) = 1/6
P(v prvním hodu padne 3) = 1/6
P(v prvním hodu padne 4) = 1/6
P(v prvním hodu padne 5) = 1/6
P(v prvním hodu padne 6) = 1/6

Prvních pět jevů je elementárních a pro poslední jev platí (viz předchozí komentář)

P(v prvním hodu padne 6) = 1/6 = P(padne (6, 1)) + P(padne (6, 2)) + ... + P(padne (6, 6))

A protože se kostka pro druhý hod nijak nezmění, pravděpodobnost všech čísel v druhém hodu bude stejná. Mezi elementární jevy (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) rozdělíme 1/6 - každému tedy dáme 1/36:

P((6, 1)) = 1/36
P((6, 2)) = 1/36
P((6, 3)) = 1/36
P((6, 4)) = 1/36
P((6, 5)) = 1/36
P((6, 6)) = 1/36

Se znalostí pravděpodobnosti elementárních jevů již můžeme vyřešit úlohy 0) - 5) - stačí vždy sečíst pravděpodobnosti elementárních jevů, jež odpovídají jevu v závorce.


úlohy 6) a 7) jsou na podmíněnou pravděpodobnost (pro tebe asi nepovinné), správně bych měl zapisovat

6) P(ve druhém hodu padne 2 | v prvním jsme hodili 6) = 1/6
slovně: "pravděpodobnost, že ve druhém hodu padne 2 za podmínky, že v prvním padla 6"

7) P(ve druhém hodu padne 2 | v prvním jsme hodili 3) = 0
slovně: "pravděpodobnost, že ve druhém hodu padne 2 za podmínky, že v prvním padla 3"

Cílem těchto úloh je spočítat pravděpodobnost, když už máme nějakou další informaci. Předpokládáme, že výroky za svislou čárkou již platí. Svislá čárka se čte "za podmínky, že".

7) je jednoduchá - žádný elementární jev nesplňuje situaci, kdy by v prvním hodu padla 3 a ve druhém 2 - pravděpodobnost je tedy 0

6) Pravděpodobnost čísel ve druhém hodu je stejná (pokud se na něj dostane). Tím, že v prvním hodu padla 6, víme, že se na druhý hod dostane. Pravděpodobnost, že padne nějaké číslo ve druhém hodu je 1 za podmínky, že se dostalo na druhý hod. Z toho plyne, že pravděpodobnost jednoho konkrétního čísla ve druhém hodu je 1/6 za podmínky, že se na něj dostane.

Jiná možnost, jak to spočítat je: Vezmeme elementární jevy, v nichž platí podmínka - tj. v prvním hodu padla 6:

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Pokud nic nevíme, tak má každý z nich pravděpodobnost 1/36 - součet není 1, protože mohou nastat i jiné možnosti (např. v prvním hodu padne 3). Když už ale víme, že v prvním hodu padla 6, jiné možnosti nastat nemohou, tudíž by součet pravděpodobností měl být 1 - to zatím není, ale my to zařídíme normalizací (pravděpodobnosti elementárních jevů vynásobíme vhodnou konstantou).

Sečteme pravděpodobnost zbylých elementárních jevů - vyjde 1/6 a nyní pravděpodobnost každého z nich vydělíme 1/6. Protože (1/36)/(1/6) = 1/6, tak každý ze zbylých elementárních jevů bude mít pravděpodobnost  1/6 a součet bude 1 (normalizace zachová poměry pravděpodobností).

KDPK napsal(a):

↑ radekm:
Na příkladu s hráčem by to byl případ, kdy by bylo v zadání např. uvedeno, že hráč hodil napoprvé číslo 6? Bylo by tam tedy jasné určení hodnoty prvního hodu?

Ano, chápeš to dobře.

Obecně: když znám nějakou informaci, tak vymažu všechny elementární jevy, které jsou s ní v rozporu, a zbylé pravděpodobnosti znormuji, aby byl součet 1.

Když bych měl tabulku, kde jsou pravděpodobnosti pro házení kostkami (buňky tabulky reprezentují elementární jevy) a vím, že padla 6 v prvním hodu, tak elementární jevy, jenž jsou v rozporu (označeny šedě) odstraním:



Zbylé pravděpodobnosti (oni to zatím nejsou pravděpodobnosti, protože součet není 1) znormuji. Tím dostanu nové pravděpodobnosti elementárních jevů, kde je zapracována informace, že v prvním hodu padla 6. V tabulce je vyznačena pravděpodobnost jevu, že v druhém hodu padne 1 za podmínky, že v prvním padla 6.

↑ radekm:

Jsi borec, smekám a díky... je to výborně přehledné...
Jdu se v tom ještě "rochnit".

Díky, K.