Matematické Fórum

jardofpr

ahojte

ak by sa dalo pomôcť osvetliť nasledovné

mám rovnicu
$Y(x)''+\alpha Y(x)=0$ pre $x \in [\pi/2,\pi]\,,\,\alpha \in (0,\infty)$

a okrajové podmienky $Y'(\pi/2)=0=Y(\pi)$

všeobecné riešenie by malo vyjsť

$Y(x)=c_{1}\cos{(\sqrt{\alpha}x)}+c_{2}\sin{(\sqrt{\alpha}x)}\,\qquad\,c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}$

a jeho derivácia

$Y'(x)=-c_{1}\sqrt{\alpha}\sin{(\sqrt{\alpha}x)}+c_{2}\sqrt{\alpha}\cos{(\sqrt{\alpha}x)}$

po dosadení okr.podm. mám systém

$c_{1}\cos{(\sqrt{\alpha}\pi)}+c_{2}\sin{(\sqrt{\alpha}\pi)}=0$
$-c_{1}\sqrt{\alpha}\sin{\bigg(\frac{\sqrt{\alpha}\pi}{2}\bigg)}+c_{2}\sqrt{\alpha}\cos{\bigg(\frac{\sqrt{\alpha}\pi}{2}\bigg)}=0$

tento systém by mi mal jednoznačne určiť množinu parametrov $\alpha$
ktoré potrebujem pre ďalší výpočet, ale nedarí sa mi v tom zorientovať
druhá rovnica systému sa ešte dá vydeliť nenulovým $\sqrt{\alpha}$ ,
ale k dopracovaniu sa k parametrom $\alpha$ mi to nepomohlo zatiaľ

(úloha je čiastkovým problémom riešenia vlnovej rovnice na úsečke
metódou sepáracie premenných)

kaja.marik · 31. 05. 2012 00:42

Zkusil bych bud posunout x o pi/2 doleva, nebo prevest goniometricke funkce na stejny argument sqrt(alpha)*pi/2
Treba to pomuze.

jardofpr · 01. 06. 2012 00:10

↑ kaja.marik:

skúsil som, zatiaľ ma to nepriviedlo bližšie,
ale ešte to skúsim

kaja.marik · 01. 06. 2012 06:55

Zda se mi, ze kdyz to prepisu na

$c_1(\cos^2\frac{\sqrt\alpha\pi}2-\sin^2\frac{\sqrt\alpha\pi}2)+c_22\sin \frac{\sqrt\alpha\pi}2\cos \frac{\sqrt\alpha\pi}2=0$
a
$-2c_1\sin^2 \frac{\sqrt\alpha\pi}2+c_22\sin \frac{\sqrt\alpha\pi}2\cos \frac{\sqrt\alpha\pi}2=0$ ,

tak po odecteni mam c_1=0. Ale mozna tam mam nekde preklep, psal jsem is to narychlo. A druhou rovnici jsem nasobil jistym vyrazem, je potreba zvlast osetrit pripad, kdy je tento vyraz nula.

jardofpr · 01. 06. 2012 11:34

vďaka ↑ kaja.marik:
teraz to už vidím :)

nenapadlo ma to násobenie druhej rovnice, postup už stačí na určenie riešení

pre istotu ho sem dám ak by som sa niekde po ceste pomýlil ešte

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!