Matematické Fórum

aaoswego · 02. 06. 2012 12:01

Ahoj,
jak na tuhle radu? Pocitam pres nejaky srovnani, ale nenapada me uplne jak to formulovat
Diky

Cynyc · 02. 06. 2012 12:52

↑ aaoswego: Dvojím použitím vzorce $a^b=\mathrm{e}^{b\ln a}$ to převeď na $\sum n^{-\ln\ln\ln n}$ a srovnej s $n^a$ .

aaoswego · 02. 06. 2012 13:14

↑ Cynyc:
Staci tady polozit srovnani s 1/n, ktera diverguje a dana rada tedy taky diverguje?

Cynyc · 02. 06. 2012 13:27

↑ aaoswego: Ne, protože tahle řada konverguje :) $\lim \ln \ln \ln n =\infty$ , takže každá $n^a$ je její majoranta.

aaoswego · 02. 06. 2012 13:34

↑ Cynyc:
Muzes to prosim rozvyst?

Cynyc · 02. 06. 2012 14:36 — Editoval Cynyc (02. 06. 2012 14:41)

↑ aaoswego: $\lim \frac{n^{-\ln\ln\ln n}}{n^a}=\lim n^{-a-\ln\ln\ln n}=0$ pro každé $a$ . A protože pro $a<-1$ řada $\sum n^a$ konverguje, konverguje podle limitního srovnávacího kritéria i původní řada.
Chceš-li totéž nelimitně, pak z $\lim \ln\ln\ln n=\infty$ plyne, že $\forall a\in\mathbb{R}\, \exists n_0\in\mathbb{N}\, \forall n\geq n_0: \ln\ln\ln n\geq a$ . Pak ale pro všechna $n\geq n_0$ platí $n^{-\ln\ln\ln n}\leq n^{-a}$ a $n^{-a}$ je tedy od $n_0$ majorantou původní posloupnosti. A protože $\sum n^{-a}$ pro $a>1$ konverguje, konverguje i původní řada.
Lidsky řečeno, $\ln\ln\ln n$ jde do nekonečna, takže přeroste třeba dvojku. Takže členy původní řady budou pro skoro všechna n menší, než členy řady $\sum n^{-2}$ , která konverguje.

aaoswego · 02. 06. 2012 14:59

Muze mi u toho limitniho srovnavaciho kriteria vyjit nula s tim, ze je to v poradku? Fungoval jsem v domneni, ze to musi byt >0.
Ta druha cast mi je pak uz jasna, takze diky moc.

Cynyc · 02. 06. 2012 15:22

↑ aaoswego:Limitní verze srovnávacího kritéria: Nechť $b_n$ je nezáporná.
a) $\lim \frac{|a_n|}{b_n}<\infty \wedge \sum b_n \text{ konverguje}\Rightarrow \sum a_n \text{ konverguje absolutně,}$
b) $\lim \frac{a_n}{b_n}>0 \wedge \sum b_n \text{ diverguje}\Rightarrow \sum a_n \text{ diverguje.}$

Nenulovost je třeba pouze v důsledku, který je průnikem obou případů:
$\lim \frac{a_n}{b_n}\in(0,\infty)\Rightarrow (\sum a_n \text{ konverguje}\Leftrightarrow \sum b_n \text{ konverguje})$ .

aaoswego · 02. 06. 2012 15:55

↑ Cynyc:
Tzn. nas se tyka teda ten pripad a)?

Cynyc · 02. 06. 2012 16:01

↑ aaoswego: Přesně tak. Pokud je limita konečná nenulová, chovají se řady limitně stejně (přesněji, jedna se pohybuje mezi dvěma konstantními násobky druhé), je-li nulová, jsou členy posloupnosti $b_n$ limitně podstatně větší než členy $a_n$ (a tedy je-li součet $\sum b_n$ konečný, je konečný i součet $\sum a_n$ ).

aaoswego · 02. 06. 2012 16:17

Tak uz vsechno jasny, diky

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2012 12:01

Konvergence rady

#2 02. 06. 2012 12:52

Re: Konvergence rady

#3 02. 06. 2012 13:14

Re: Konvergence rady

#4 02. 06. 2012 13:27

Re: Konvergence rady

#5 02. 06. 2012 13:34

Re: Konvergence rady

#6 02. 06. 2012 14:36 — Editoval Cynyc (02. 06. 2012 14:41)

Re: Konvergence rady

#7 02. 06. 2012 14:59

Re: Konvergence rady

#8 02. 06. 2012 15:22

Re: Konvergence rady

#9 02. 06. 2012 15:55

Re: Konvergence rady

#10 02. 06. 2012 16:01

Re: Konvergence rady

#11 02. 06. 2012 16:17

Re: Konvergence rady

Zápatí