Matematické Fórum

matlocko · 31. 05. 2012 17:41

spominany integrál je int (2x+ycos(xy))dx+ (xcos(xy)+4y)dy cez krivku omega kde omega=[1,pi/2]-[2,pi/2]-[2,pi]
Mám to spravit na priamo a pomocou potencialu,bohuzial an cvikach sme tomu moc nedali a akosi sa neviem pohnúť.DIk

jardofpr

↑ matlocko:

hľadanie potenciálu:

hľadá sa funkcia $V:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\,,\,(x,y)\mapsto V(x,y)$

taká že

$\frac{\partial \,V}{\partial \,x}=2x+y\cos{(xy)}\qquad (1)$
$\frac{\partial \,V}{\partial \,y}=x\cos{(xy)}+4y\qquad (2)$

ak má $V$ spĺňať $(1)$ , potom musí byť

$V(x,y)=\int (2x+y\cos{(xy)})\,\mathrm{d}x=x^2+\sin{(xy)}+f(y)$

kde $f$ je diferencovateľná funkcia premennej $y$

teda $V$ má tvar $V(x,y)=x^2+\sin{(xy)}+f(y)\,\qquad (3)$

teraz $V$ danú vypočítaným vzťahom $(3)$ zderivujeme podľa premennej $y$

$\frac{\partial \,V}{\partial \,y}=x\cos{(xy)}+f'(y)$

porovnaním so vzťahom $(2)$ dostaneme rovnosť

$x\cos{(xy)}+f'(y)=x\cos{(xy)}+4y$

teda musí byť

$f'(y)=4y$

z toho $f(y)=\int 4y\,\mathrm{d}y=2y^2+c$ kde $c \in \mathbb{R}$

teda potenciál $V$ je daný vzťahom

$V(x,y)=x^2+\sin{(xy)}+2y^2+c$

zadanú máme funkciu
$F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))=(2x+y\cos{(xy)}\,,\,x\cos{(xy)}+4y)$

keďže sme našli potenciál $V$ taký, že $F=\nabla V$

orientovaný integrál bude mať rovnakú hodnotu pre
ľubovoľnú cestu $\omega$ spájajúcu body $[1,\pi/2]$ a $[2,\pi]$

pričom

$\int_{\omega} F(x,y).\mathrm{d}(x,y)=V(2,\pi)-V(1,\pi/2)$

(tento výpočet platí za niektorých predpokladov, ktoré som nekontroloval,
predpokladám, že keď to máš robiť týmto spôsobom, tak je všetko splnené)

matlocko · 02. 06. 2012 22:44

Zdravícko, niekto sikovny kto by mi vedel nakreslit definicny obor tohoto? Mam ho nakresleny ale nemam si to de s urcistostou overit....1/((sqrt(x+2y)-sqrt(x-1)) a ked už aj ln(1/((sqrt(x+1)-(sqrt(y))))

jelena · 02. 06. 2012 22:57

↑ matlocko:

Zdravím,

v tomto tématu máš řešit s kolegou ↑ jardofpr: problém z 1. příspěvku (podrobně).

Pro ověření nákresů používej, prosím, online nástroje úvodního tématu sekce VŠ, případně do nového tématu můžeš vložit svůj obrázek s komentářem. Děkuji za pochopení.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2012 17:41

mozte mi niekto pomoct s integralom int 2x+ycos(xy)dx+ (xcos(xy)+4y)dy

#2 01. 06. 2012 18:56 — Editoval jardofpr (01. 06. 2012 23:38)

Re: mozte mi niekto pomoct s integralom int 2x+ycos(xy)dx+ (xcos(xy)+4y)dy

#3 02. 06. 2012 22:44

Re: mozte mi niekto pomoct s integralom int 2x+ycos(xy)dx+ (xcos(xy)+4y)dy

#4 02. 06. 2012 22:57

Re: mozte mi niekto pomoct s integralom int 2x+ycos(xy)dx+ (xcos(xy)+4y)dy

Zápatí