Matematické Fórum

LRJ1 · 03. 06. 2012 11:20

Prosím o radu s příkladem: $\lim_{(x,y)\to(2,4)}\frac{x-y}{-2x+y}$ Nějak si nevím rady, jak pokračovat (jak řešit tento příklad), vychází-li ve jmenovateli 0. Mnohokrát děkuji za veškerou pomoc.

Cynyc · 03. 06. 2012 16:12 — Editoval Cynyc (03. 06. 2012 16:15)

Dobrým začátkem bývá zkusit limity "po přímkách", tedy svázat lineárně x a y a zjistit, zda jsou všechny výsledné limity (už funkce jedné proměnné) stejné. Pokud ne, původní limita neexistuje; pokud ano, nedokazuje to nic, ale je to návod, že se spíše máme pokusit existenci limity z definice dokázat. Abychom nemuseli dumat nad obecnou podobou lineárního vztahu x a y, převedeme limitu nejprve do počátku:
$\lim_{(x,y)\to (2,4)}\frac{x-y}{-2x+y}=\left|\begin{array}{r@{\,=\,}l}x'&x-2\\ y'&y-4\end{array}\right|=\lim_{(x',y')\to (0,0)}\frac{x'-y'+2}{-2x'+y'}$
a nyní už volíme $y'=kx'$ (čímž dostaneme všechny přímky procházející počátkem až na $x=0$ , kterou můžeme zkontrolovat zvlášť):
$\lim_{x'\to 0)}\frac{x'-kx'+2}{-2x'+kx'}=\lim_{x'\to 0}\frac{(1-k)x'+2}{(k-2)x'}$ a tato limita neexistuje, protože je zprava a zleva různá.
Původní limita tedy každopádně neexistuje, protože limita z různých směrů je různá. Stejný závěr by byl i případě, že by pro každé k limita existovala, ale aspoň pro dvě různá k byla různá. Pokud navíc máte limitu definovanou ne vzhledem k definičnímu oboru funkce, ale k celému R^2 (což je takřka jisté, neděláte-li matfyz nebo jaderku), pak ani nemá smysl, protože funkce není v žádném úplném prstencovém okolí bodu (2,4) definovaná (protože není definovaná na přímce -2x+y=0; po substituci je to případ k=2).

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2012 11:20

Limita dvou proměnných

#2 03. 06. 2012 16:12 — Editoval Cynyc (03. 06. 2012 16:15)

Re: Limita dvou proměnných

Zápatí