Matematické Fórum

LRJ1 · 03. 06. 2012 11:09

Prosím o pomoc s tímto příkladem: $\sum_{n=1}^{\infty }(x+3)^{n}3^{(2-2n)}n$ Nějak to počítám, nevím jestli dobře a potom nevím jak pokračovat. Zde je můj polovýpočet. Mnohokrát děkuji za jakouliv radu.

skoroakvarista · 03. 06. 2012 11:35

↑ LRJ1:
Zdravím, schválně se zkuste zamyslet, jestli opravdu platí $\frac{3^2}{3^{2n}}=\frac{1}{1^n}=1$ pro všechna n.

LRJ1 · 03. 06. 2012 11:51

↑ skoroakvarista: Jojo, už na to koukám. Takto je to dobře? $\frac{3^2}{3^{2n}}=\frac{3^2}{3^2+3^n}=1+\frac{3^2}{3^n}=1+3^{2-n}$

skoroakvarista · 03. 06. 2012 11:59

↑ LRJ1:
Dobře to není, používáte nějaké mně neznámé úpravy. Každopádně k řešení toho příkladu není potřeba nic takového vymýšlet. K výpočtu poloměru konvergence prostě vezměte $3^{2-2n}n$ a v čitateli místo $n$ napište $(n+1)$ .

LRJ1 · 03. 06. 2012 12:10

↑ skoroakvarista: OK. Takto jsem to zkusil přepočítat:

skoroakvarista

↑ LRJ1:
Ano, to už dává smysl. Teď správně určtete interval konvergence (mám na mysli $x \in (x_0 -R, x_0+R)$ z vašeho prvního příspěvku), pozor na správné $x_0$ . Poté vyšetřete konvergenci v jeho krajních bodech.

LRJ1 · 03. 06. 2012 12:23

↑ skoroakvarista: $x_{0}$ určím z $(x+3)$ ? Ale teď nevím, zda $(x-x_{0})$ nebo $(x+x_{0})$ . Jednou by to bylo $+3$ a jednou $-3$ . Potom už bych jen dosadil, ale nejsem si jistý jestli + nebo -.?

skoroakvarista · 03. 06. 2012 12:31

↑ LRJ1:
Mocninná řada se středem v bodě $x_0 \in \mathbb{R}$ je tvaru $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ . Ve vašem případě $-x_0=+3$ , tedy $x_0=-3$ .

LRJ1 · 03. 06. 2012 12:37

↑ skoroakvarista: Vychází tedy: $x\in (-12,6)$ Ale mám k dispozici výsledky a tam je napsáno $(0,18)$ Nedělám někde chybu?

skoroakvarista · 03. 06. 2012 12:42

↑ LRJ1:
Možností je špatně opsané zadání nebo chyba ve výsledcích. Pokud vezmu například $x=17\in (0,18)$ , tak řada podle WAdiverguje.

LRJ1 · 03. 06. 2012 13:02

↑ skoroakvarista: Zadání jsem zkontroloval a je dobře, asi je chyba ve výsledku. Pokračuji v počítání:

skoroakvarista · 03. 06. 2012 13:17

↑ LRJ1:
Pro $x=-12$ pozor na roztržení $(-3^2)^n$ , musí vám zůstat $(-1)^n$ , ne $(-1)$ . Na řadu $9\sum_{n=1}^\infty (-1)^nn$ bych použil zobecněné Raabeovo kritérium.
Pro $x=6$ to je jasné.
Za pravdu nám dává i WA. Takže bych to uzavřel tím, že zadaná řada konverguje pouze na otevřeném intervalu $I=(-12,6)$ .