Matematické Fórum

Aquabellla · 02. 06. 2012 20:20

Pěkný večer přeji.

Určete lokální extrémy funkce $z = f(x,y)$ určené implicitně rovnicí $x^2 + y^2 + z^2 - xy - \sqrt{2}yz - 1 = 0$ .

Derivace podle x:
$2x + 2z \cdot z_x - y - \sqrt2 y \cdot z_x = 0$ => $z_x = \frac{y - 2x}{2z - \sqrt2 y} = 0$ => $y = 2x$

Derivace podle y:
$2y + 2z \cdot z_y - x - \sqrt2 z - \sqrt2 y \cdot z_y = 0$ => $z_y = \frac{x + \sqrt2 z - 2y}{2z - \sqrt2 y} = 0$ => $x + \sqrt2 z - 2y = 0$

Mám dvě rovnice o třech neznámých:
$y = 2x$ a $x + \sqrt2 z - 2y = 0$ => $x + \sqrt2 z - 4x = 0$ => $z = \frac{3}{\sqrt2}x$

Dosadím do zadané rovnice:
$x^2 + y^2 + \left(\frac{3}{\sqrt2}x\right)^2 - xy - \sqrt{2}y \cdot \left(\frac{3}{\sqrt2}x\right) - 1 = 0$
$\frac{11}{2}x^2 + y^2 - 4xy - 1 = 0$

Jak mám pokračovat dál? Předem děkuji za každou radu.

OiBobik

↑ Aquabellla:

Ahoj,

myslím, že ↑ Tomas.P: má ve výpočtech či v úvaze nějakou chybu (těžko říct, když píše jen řetězce znaků bez komentáře), tak reaguji (a omlouvám se předem, jestli se nějak pletu):

Do zadané rovnice jsi dosadila za $z$ , stejně tak ovšem můžeš dosadit za $y$ (hledáš "body podezřelé z extrémů", což v případě hladkých fcí znamená stacionární body. Tedy v kterémkoli bodě, ve kterém by implicitně zadaná funkce nabývala extrém, jsou splněny rovnice $y=2x$ , $z=\frac{3}{\sqrt{2}}x$ . Jelikož ale bod $[x,y,z]$ je bodem grafu implicitně zadané funkce, musí tento bod splňovat zadanou rovnici. Máme tedy zkrátka soustavu 3 rovnic o 3 neznámých, kterou řešíš). Dostaneš tak kvadratickou rovnici pro $x$ , její řešení (a zpětné dosazení pro výpočet y,z) ti dá jediné body "podezřelé z extrémů".

Dále lze postupovat standardně: v podezřelých bodech spočítat hessovu matici, určit, je-li poz-def/neg-def, atd.

Nebo:

Celý příklad lze taky řešit úplně naruby: a sice, že hledáme lokální extrémy funkce $f(x,y,z)=z$ vzhledem k množině $M=\{[x,y,z] \Big| x^2 + y^2 + z^2 - xy - \sqrt{2}yz - 1 = 0\}$ .
Pak lze celý příklad řešit standardně Lagrangeovými multiplikátory.
(Tato dvě zadání teda nejsou zcela ekvivalentní, ale (myslím, že ) jde ukázat, že globální i lokální extrémy si budou odpovídat. Navíc tato druhá verze dává svým způsobem lepší smysl - neexistuje totiž žádná globální funkce f(x,y) daná implicitně onou rovnicí ze zadání, věta o implicitní funkci nám dává jen existenci lokálních funkcí na okolích vhodných bodů - viz wolfram - je jasné, že takový elipsoid není funkce proměnných x,y - i když "horní poloelipsoid" a "dolní poloelipsoid" jsou)

Aquabellla · 03. 06. 2012 12:46

↑ Tomas.P:

Díky moc, jen si neumím představit, jak bych tento příklad počítala bez kalkulačky :-)

↑ OiBobik:

Tomášův postup mi smysl dává a přepočítávala jsem to a numerická chyba tam není. Každopádně jsem to zkoušela počítat i tím, cos psal ty, a vyšlo mi: $y = \pm \sqrt{\frac83}$ , takže v jednom z postupů chybka je.

Každopádně děkuji oběma za rady, ty postupy se mi budou hodit :-)

OiBobik

↑ Aquabellla:

Pořád si myslím, že Tomášův postup je špatně...

Zdá se mi totiž, že v jeho postupu z nějakého důvodu začíná hledat "lokální extrémy implicitně zadané funkce $\frac{11}{2}x^2 + y^2 - 4xy - 1 = 0$ ", které ovšem nemusí mít s lokálními extrémy původní implicitně zadané funkce nic společného ("na co je potřeba mít lokálně maximalizováno y v bodě, kde chceme mít lokálně maximalizováno z?").

Nevím, jak to lépe zdůvodňovat, řekl bych, že slovní popis výše (↑ OiBobik:) potvrzuje správnost mého postupu.

Možná snad ještě přidám následující wolframy:

globální maximum fce z na množině {x^2+y^2+z^2-xy-sqrt(2)y*z-1=0}
globální maximum fce y na množině {11/2 *x^2+y^2-4xy-1=0}

(píšu "globální extrémy" a ne lokální jen proto, aby tam ten wolfram neházel nějaké desetinné rozvoje - pravděpodobně řeší wolfram globální extrémy analyticky a lokální numericky; pro lokální extrémy dává wolfram stejné výsledky)

(Pozn: Nechcu tu do někoho rýpat nebo tak, jen si myslím, že by tu neměly být chybně řešené topicy)

Tomas.P · 03. 06. 2012 13:52

↑ OiBobik:
Zdravím, svůj postup jsem opíral o zadání: určete lokální extrémy funkce $z = f(x,y)$ , tzn. fce dvou proměnných.

OiBobik

↑ Tomas.P:

Ahoj,

nezlob se, ale stále si myslím, že Tvůj postup je chybný.

Dobrým argumentem je snad toto:

Dle věty o implicitní funkci je fce $z(x,y)$ třídy $C^{\infty}$ (tj. derivace všech řádů jsou spojité).

Tedy body lokálního maxima, minima musí nutně být stacionárními body funkce $z(x,y)$ - speciálně, je-li $[x_0,y_0]$ bod, v němž má funkce $z(x,y)$ lokální maximum, pak nutně $\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=0$ .

↑ Aquabellla: v úvodu správně spočítala, že $\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\frac{y - 2x}{2z - \sqrt2 y}$

Hodnota $z(x,y)$ v bodě $S_1$ je (dosazením do původní rovnice) buď $5\sqrt{\frac{2}{33}}$ , nebo $2\sqrt{\frac{6}{11}}$ (viz odkaz)
Dosazením Tebou vypočítaného bodu, v němž je nabyto lokálního maxima, pak v obou případech dostáváme
$\frac{\partial z}{\partial x}$\frac{4}{11}\cdot \sqrt{\frac{11}{3}},\sqrt{\frac{11}{3}}$= \frac{\sqrt{\frac{11}{3}} - \frac{8}{11}\cdot \sqrt{\frac{11}{3}}}{2z - \sqrt2 \sqrt{\frac{11}{3}}}\neq 0$

(kde jmenovatel má jistě smysl, jelikož $2z \neq \sqrt{2}\sqrt{\frac{11}{3}}$ pro žádné z obou přípustných hodnot $z$ ).

Tedy funkce $z(x,y)$ nemůže mít v bodě $\[\frac{4}{11}\cdot \sqrt{\frac{11}{3}},\sqrt{\frac{11}{3}}\]$ lokální extrém.