Matematické Fórum

Boneshock

Dobrý den,

narazil jsem dnes na problem, ktery se tyka diferencialnich rovnic.

Je zadana rovnice

x*y'+2y=0

resim to nasledovne:
x*(dy/dx)+2y=0
x*dy=-2y*dx
$\int_{}^{}\frac{dy}{-2y}= \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$

a ted prichazi ten muj zadrhel.
Bud muzu vyraz $\int_{}^{}\frac{1}{-2y}dy$ derivovat jako $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{y}$ nebo podle pravidla, ze kdyz mam nahore derivaci funkce dole, tak je to ln te funkce co je dole ze? Takze $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{-2}{-2y}$

a tedka co prave nechapu, tak je, ze kdybych to ingroval jako $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{y}$ tak mi vyjde $\frac{-ln y}{2}$ , ale kdybych to integrovall podle $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{-2}{-2y}$ , tak mi vyjde $\frac{-ln|-2y|}{2}$

no a kdybych pak diferencialni rovnici pocital dal s tou prvni ingeraci $\frac{-ln y}{2}=lnx$ , tak po uprave to vyjde ze $ln y=-2lnx$
$ln y=lnx^{-2}+c$
$y=\frac{c}{x^{2}}$

ale kdybych to pocital druhym zpusobem ktery se tedy lisi v tomto $\frac{-ln|-2y|}{2}=lnx$
$ln|-2y|=lnx^{-2}+c$
$-2y=\frac{c}{x^{2}}$
$y=-\frac{c}{2x^{2}}$

Tak a tedka opravdu nevim, co si o tom mam myslet. Jinak wolfram alpha ukazuje ze vysledek by mel byt $y=\frac{c}{x^{2}}$

Dekuji predem za vysvetleni.

Tomas.P

↑ Boneshock:
Jedná se o rci se separovanými proměnnými ve tvaru: $g(y){\cdot}y'=h(x)$ , $x{\cdot}y'+2{\cdot}y=0{\Rightarrow}x{\cdot}y'=-2{\cdot}y /:(x{\cdot}y){\Rightarrow}\frac{1}{y}dy=-\frac{2}{x}dx /{\int}{\Rightarrow}ln(y)=-2{\cdot}ln(x)+c{\Rightarrow}ln(y)=ln$\frac{1}{x^2}$+c$ , $y=e^{ln$\frac{1}{x^2}${\cdot}c}=\frac{c}{x^2}$ .

jelena · 03. 06. 2012 15:18

Zdravím,

určitě máš derivovat $\int_{}^{}\frac{1}{-2y}\d y$ jako $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{y}\d y$ . Protože v jiném návrhu jsi 2 do čitatele "přilepil navíc" a změnil tak hodnotu výrazu, což není OK - upraveno, již vidím, že jsi rozšířil celý zlomek, tedy OK to je, ale je to zbytečná úprava. Tedy tuto větev už dál nebudeme rozvíjet.

První výsledek je $\frac{-\ln |y|}{2}=\ln |x|+C$ podaří se dokončit? Děkuji.

Upraveno: už to zde nechám, když jsem si dala takovou práci se čtením slohovky. Navíc mám absolutní hodnoty za ln. Kolegovi Tomašovi P. se omlouvám za vstup.

kaja.marik · 03. 06. 2012 15:24

Boneshock napsal(a):
Dekuji predem za vysvetleni.

Pekny den, taky si dovolim vstoupit. Mozna jsme jenom zapomneli, ze vysledek neni dan jednoznacne. V tomto pripade to je jednoduch, protoze rovnice je linearni homogenni - tady je vysledek dan jednoznacne az na multiplikativni kostantu

jelena · 03. 06. 2012 15:25

↑ Tomas.P:

Zdravím,

s dovolením svůj příspěvek ponechám - viz "upraveno". Když píšeš celý matematický zápis do jednoho řádku, není to příliš čitelné, je dobré rozdělovat na řádky pomocí \\. Napr:

$2+2=4\\ 4-2=2$

Děkuji.

Boneshock

Aha, takze jak vysledek $y=-\frac{c}{2x^{2}}$ tak $y=\frac{c}{x^{2}}$ jsou oba spravne, ale jak psal kaja marik, tak se lisi v multiplikativni konstante $c$ , ktera je schopna výsledky srovnat, pokud by byl znam postup integrace. Je to tak?

Edit: To Jelena - no me to prave nedalo, protoze leckdy se da znacne usnadnit vypocet, kdyz vidim ze nahore bude derivace spodni fce a tudiz je to pak ln jmenovatele a proto mi to nedalo a zeptal jsem se, proc kdyz to pocitam dvema zpusoby, tak mi vyjde neco jineho, tak jsem si rikal, jestli prave 1 z tech zpusobu u diferencialnich rovnic nejde pouzit a ja to nevedel, tak jsem se vas radeji optal, protoze vy jste fakt kapacity.

Moc si cenim vasi praci, jak opravdu svedomite kazdemu odepisujete a to opravdu s minimalnim prodlenim. Urcite jste pomohli uz tisicum lidi. *Thumbs up*

jelena · 03. 06. 2012 17:49

↑ Boneshock:

:-) děkuji jménem celého týmu zde působícího. Není to práce a část z nás jsou opravu kapacity, mezi které nepatřím. Kapacitám děkuji :-)

Úprava čitatele mne "zaskočila", jelikož zvykem je spíš vytknou konstantu před znak integrálu. Ty jsi konstantu vytknul a dostal tabulkový integrál (za znakem integrálu) $-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{y}\d y$

--------------------------------------------

Jinak je to tak - pokud jsi provedl ekvivalentní úpravy (rozšíření zlomku), tak v celkovém výsledku se to ani neprojeví, jelikož se dostane do konstanty, jak uvádí vážený kolega ↑ kaja.marik:. Pro mne je třeba dobré konstantu označovat vždy jinak (pro každou úpravu), proto jsem ještě před konečnou úpravou označila velkým písmem C, abych po úpravě mohla použit stejné označení, co máš.

Jinak jsou na více místech takové úpravy, kde používáš minus v absolutní hodnotě a i po odstranění absolutní hodnoty. máš např. $\ln |-2y|=\ln(x^{-2})+c$ , ovšem absolutní hodnota zruší minus v "absolutní závorce":
$\ln |2y|=\ln(x^{-2})+c$ atd. Nevím, jestli ještě něco nepřehlížím.

k použití WA ještě doporučím MAW

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2012 13:53 — Editoval Boneshock (03. 06. 2012 13:55)

Diferenciální rovnice

#2 03. 06. 2012 15:14 — Editoval Tomas.P (03. 06. 2012 15:17)

Re: Diferenciální rovnice

#3 03. 06. 2012 15:18

Re: Diferenciální rovnice

#4 03. 06. 2012 15:24

Re: Diferenciální rovnice

Boneshock napsal(a):

#5 03. 06. 2012 15:25

Re: Diferenciální rovnice

#6 03. 06. 2012 16:10 — Editoval Boneshock (03. 06. 2012 16:13)

Re: Diferenciální rovnice

#7 03. 06. 2012 17:49

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí