Matematické Fórum

LRJ1 · 03. 06. 2012 20:31

Prosím o radu, jak spočítat tento příklad: Zadání: Najděte lokální extrémy funkce $f(x,y)=y+2x+1$ na množině $x^2-2xy+y^2=0$ . Můj výpočet se zasekl na 0=0, dál jsem jen zkoušel. Kdyby mi vyšlo např.: y=+-2, tak opočítám x, výjdou mi dva body, tím pádem dvě lambdy a spočítám matice. ALE NĚJAK JSEM SE ZASEKL. Prosím o kontrolu a radu. Mnohokrát děkuji. Můj postup:

LRJ1 · 04. 06. 2012 10:25

↑ LRJ1: Mrkne se mi na to prosím někdo?

Rumburak

↑ LRJ1:

Je potřeba položit $L'_x = 0$ , $L'_x = 0$ . Sečtením těchto rovnic dostaneme spor $3 = 0$ . Z toho plyne, že hledané extrémy neexistují.

Jiný způsob:
Vazební rovnice $x^2-2xy+y^2=0$ je ekvivalentní s $(x-y)^2 =0$ a tedy s $y = x$ . To můžeme dosadit do
$f(x,y)=y+2x+1$ a pak dostaneme $g(x) := f(x,x)=x+2x+1 = 3x+1$ .
O funkci $g$ je známo, že memá v $\mathbb{R}$ lok. extrém

OiBobik

↑ LRJ1:

Ahoj,

v předpokladech věty o Lagrangeových multiplikátorech je, že gradienty vazbových fcí musí být na vyšetřované množině lineárně nezávislé (znění je namátkou třeba zde).

Všimnni si, že zadanou vazbovou podmínku lze také ekvivalentně přeformulovat:

$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=0$

- speciálně tedy pro každý bod $(x,y)$ z množiny, na níž fci vyšetřujeme, platí $x=y$ .

Jelikož ale $\text{grad } g(x,y)=(2x-2y, 2y-2x)$ , pak $\forall (x,y) \in \{x^2-2xy+y^2=0\}: \text{grad }g(x,y)=(0,0)$ . To je ale lineárně závislý vektor. Tedy předpoklady věty nejsou splněny, tudíž stadnardní postup "Lag multiplikátory ... " nelze použít.

To ovšem příklad nijak neztěžuje, ale naopak trivializuje:

Všimni si, že $x^2-2xy+y^2=0 \leftrightarrow (x-y)^2=0 \leftrightarrow x=y$ .

Pak platí, že $f(x,y)=3y+1$ na vyšetřované množině.
Odtud se již snadno nahlédne, že žádné lokální extrémy neexistují.

↑ Rumburak:

Jen z těch rovnic samotných nevyplývá, že lokální extrémy neexistují (nejsou splněny předpoklady věty, takže pro případný lok. extrém není zaručena existence onoho mutliplikátoru $\lambda$ takového, že daný extrém je stac. bodem $L(x)$ ).

Rumburak

↑ OiBobik:

Zdá se, že máš pravdu :-) . Díky za informaci.

Musela by se vazební podmínka vzít ve tvaru $h(x) := x-y = 0$ a pak už by grad h byl nenulový.
Nedošlo mi, že když grad h je nenulový, potom grad g , kde g = h^2 , už nenulový být nemusí .

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2012 20:31

Lokální extrémy funkce

#2 04. 06. 2012 10:25

Re: Lokální extrémy funkce

#3 04. 06. 2012 10:54 — Editoval Rumburak (04. 06. 2012 11:19)

Re: Lokální extrémy funkce

#4 04. 06. 2012 11:02 — Editoval OiBobik (04. 06. 2012 11:27)

Re: Lokální extrémy funkce

#5 04. 06. 2012 11:14 — Editoval Rumburak (04. 06. 2012 11:29)

Re: Lokální extrémy funkce

Zápatí