Matematické Fórum

petra23 · 08. 11. 2008 11:02

Prosím o pomoc při řešení:

1. vypočti dvojný integrál y.dxdy v oblasti D, kdy D je čtverec o vrcholech (0,0) (1,0) (1,1) (0,1).

Výsledek: 1/2

2. vypočti dvojný integrál odmocnina x.y dxdy v oblasti D, kdy D je obdelník o vrcholech (0,0) (a,0) (a,b) (0,b)

Děkuji.

Marian · 08. 11. 2008 11:17 — Editoval Marian (08. 11. 2008 11:25)

Je-li oblast D obdélníkem nebo čtvercem, jsou výpočty velmi snadné a není potřeba žádné transformace. Dvojný integrál se převádí na dvojnásobný, přičemž ve tvém případě nehraje roli pořadí integrace.

Máš tak
$\iint _{D}y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}y\,\mathrm{d}y\cdot\int_{0}^{1}\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}y\,\mathrm{d}y=\frac{1}{2},$
přičemž
$D:=\{ (x,y)\in\mathbb{E}\times\mathbb{E};\, 0\le x\le 1,\, 0\le y\le 1\}.$

Podobně se řeší i tvá druhá úloha. Jen mi chybí údaje o tom, co je to parametr (*?*) a, resp. b.

petra23 · 08. 11. 2008 11:50

Dekuju. Druhy priklad je zadany tak jak jsem ho napsala. neni tam nic upresneno ohledne parametru a, b. vysledek by mel vyjit: 4/9 . druha odmocnina a na treti . b na treti

Marian · 08. 11. 2008 11:54

↑ petra23:
No tak se pokus o řešení. Postup je stejný. Rozděl si to na součin dvou integrálů, v jednom budeš integrovat podle proměnné x, v druhém podle y. Pokud tam ka parametrům a, b nic není, musíme předpokládat, že jsou to kladná čísla. Jinak by se nejednalo o obdélník - mohl by totiž degenerovat v úsečku nebo jediný bod.

petra23 · 08. 11. 2008 12:31

↑ Marian: A jaké mam dosadit meze, dosadila jsem a,b a nevychází mi to! Děkuji.

Marian · 08. 11. 2008 12:38

↑ petra23:

Pak děláš asi něco špatně, protože musí být
$\iint_{D}\sqrt{xy}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{a}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x\cdot\int_{0}^{b}\sqrt{y}\,\mathrm{d}y=...=\frac{2}{3}\sqrt{a^3}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{b^3}=\frac{4}{9}\sqrt{a^3b^3},$

přičemž $D:=\{(x,y)\in\mathbb{E}\times\mathbb{E};0\le x\le a,\, 0\le y\le b,\, a>0,b>0\}$ .

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2008 11:02

Dvojný integrál v obdelníku D

#2 08. 11. 2008 11:17 — Editoval Marian (08. 11. 2008 11:25)

Re: Dvojný integrál v obdelníku D

#3 08. 11. 2008 11:50

Re: Dvojný integrál v obdelníku D

#4 08. 11. 2008 11:54

Re: Dvojný integrál v obdelníku D

#5 08. 11. 2008 12:31

Re: Dvojný integrál v obdelníku D

#6 08. 11. 2008 12:38

Re: Dvojný integrál v obdelníku D

Zápatí