Matematické Fórum

LRJ1 · 06. 06. 2012 08:12

Prosím o kontrolu mého výpočtu tohoto příkladu: Zadání: $\lim_{(x,y)\to(1,-1}\frac{2x-y-3}{(1+2x+3y)^2}$ Výpočet:

skoroakvarista

Zdravím, neměla by být limita přes množinu $M_k=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y=k(x-1)-1\}$ pro x->1? Bod (1,-1) je hromadným bodem $M_k$ .
Potom dostaneme limitu tvaru "0/0". Po l'Hospitalovi by se měla limita lišit zprava a zleva.

LRJ1 · 19. 06. 2012 18:18

↑ skoroakvarista: Zdravím, takže po úpravě není $\lim_{x\to0}$ , ale $\lim_{x\to1}$ .

skoroakvarista · 19. 06. 2012 19:21

↑ LRJ1:
Ano, tvar funkce, kterou limitíte, je v pohodě. Výsledek dopadne, jak už jsem psal.

LRJ1 · 19. 06. 2012 19:41 — Editoval LRJ1 (19. 06. 2012 19:46)

↑ skoroakvarista: Mohl by jste mi napsat, jak to celé tedy dopadne. Teď nevím, v kterém tématu, ale bylo zde uvedeno, že u dvou a více proměnných se L'Hospitalovo pravidlo nepoužívá. Také zde bylo uvedeno, že když udělám $(y-y_{0})=k\cdot (x-x_{0})$ , tak se x a y posunou na nulu $\lim_{x,y\to0,0}$ . Jsem z toho zmatený. Podle Vás: Limita tedy dopadne takto: $\lim_{x\to1}=\frac{2x-(kx-k-1)-3}{(1+2x+3\cdot (kx-k-1))}=\frac{2\cdot 1-k+k+1-3}{1+2\cdot 1+3k-3k-3}=\frac{0}{0}$ ? Jak aplikovat toho L'Hospitala, když tam mám to $k$ ? Už jsem našel to téma: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=47572

skoroakvarista · 19. 06. 2012 20:36

↑ LRJ1:
Snažme se vyvrátit existenci limity. Jak už jsem psal, bod (1,-1) musí být hromadným bodem množiny $M_k$ . Po dosazení 1 za x musí být y=-1 z rovnosti v definici $M_k$ .
Můžete si klidně zavést substituci x',y', aby šla limita do (0,0), jestli to v tom uvitíte lépe. Potom půjdete po přímkách $M'_k=\{(x',y')\in \mathbb{R}^2: y'=k\cdot x'\}$ a tvar limitěné funce bude trošku jiný.
Celkem ale dostanete "obyčejnou" limitu jedné proměnné s číselným parametrem k (pro pohodlnost klidně přirozeným parametrem). Tam už jde l'Hospitalovo pravidlo použít bez problému.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2012 08:12

Limita dvou proměnných

#2 06. 06. 2012 12:15 Příspěvek uživatele jardofpr byl skryt uživatelem jardofpr. Důvod: omyl

#3 06. 06. 2012 13:11 — Editoval skoroakvarista (06. 06. 2012 15:42)

Re: Limita dvou proměnných

#4 19. 06. 2012 18:18

Re: Limita dvou proměnných

#5 19. 06. 2012 19:21

Re: Limita dvou proměnných

#6 19. 06. 2012 19:41 — Editoval LRJ1 (19. 06. 2012 19:46)

Re: Limita dvou proměnných

#7 19. 06. 2012 20:36

Re: Limita dvou proměnných

Zápatí