Matematické Fórum

Dale.Lenka · 06. 06. 2012 19:05

Ahoj,
řeším seminárku do algebry. Zadání zní:

Lze sestrojit pomocí pravítka a kružítka pravidelný sedmiúhelník? Dokažte!

Dobrala jsem se kubické rovnice $x^{3}+x^{2}-2x-1=0$

Přes vlastnost, že se polynom třetího stupně dá vyjádřit jako součin lineárního dvojčlenu a polynomu druhého stupně, jsem dostala soustavu rovnic

ac=1
ad+bc=1
ae+bd=-2
be=-1

Postupně jsem vyjádřila a, d, e, dosadila a dostala rovnici

$-2bc-b^{2}c^{2}+b^{3}c^{3}=-1$

A teď jsem v koncích. Jak mu mám z tohohle vysvětlit, že to nejde sestrojit ...

vanok · 06. 06. 2012 19:14

http://cs.wikipedia.org/wiki/Sedmi%C3%BAheln%C3%ADk
tu je pripomenute ze heptagone sa neda presne konstruhovat.
Pozri aj tu
http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovs … ln.C3.ADky

Dale.Lenka · 06. 06. 2012 19:32

↑ vanok:

To že to nejde sestrojit vím. Ale jak mu to mám z té rovnice dokázat? To je můj problém. Jemu nestačí taková konstatování :-(

vanok · 06. 06. 2012 21:14 — Editoval vanok (07. 06. 2012 13:50)

na to je uzitocne aj toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
tak si to pozri.
Ten seminar je na akej urovni???
Pochopitelne, ze nemozes pouzit tu Gauss-ovu thm, lebo by sa tza pytali jej dokaz, a ten nie je az tak jednoduchy.

Moje spomienky na tu tvoju rovnicu $x^{3}+x^{2}-2x-1=0$ ( ktora sa dostane po upravach z $z^7-1=0$ (polozis x=z+1/z)
su ze treba dokazat ze tato rovnica ma len irationalne korene:
To sa robi ze polozis x=p/q (p; q nesudelitelne) a dostanes z toho spor.
Dosledok je ze x nie je konstruktiblilny ( preto ani z) ( ale zda sa mi ze na to treba thm od Wantzel-a).

Staci?

Edit:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2012 19:05

Sestrojitelnost pravidelného sedmiúhelníku

#2 06. 06. 2012 19:14

Re: Sestrojitelnost pravidelného sedmiúhelníku

#3 06. 06. 2012 19:32

Re: Sestrojitelnost pravidelného sedmiúhelníku

#4 06. 06. 2012 21:14 — Editoval vanok (07. 06. 2012 13:50)

Re: Sestrojitelnost pravidelného sedmiúhelníku

Zápatí