Matematické Fórum

user · 02. 06. 2012 13:53 — Editoval user (02. 06. 2012 22:34)

Zadání příkladu je:
Nechť A je symetrický operátor na R^2 se skalárním součinem $<x|y>=\alpha _{1}\beta _1-\alpha _1\beta _2-\alpha _2\beta _1+2\alpha _2\beta _2; x=(\alpha _1,\alpha _2), y=(\beta _1,\beta _2)$ , který není regulární a platí A(2,1)=(-2,0). Nalezněte spektrum A.

(Velikost vektoru máme definovanou $||x||=\sqrt{<x|x>}$ )

Řešil jsem následovně:
Použiji ekvivalence operátor je symetrický, pokud je jeho matice v ortonormální bázi symetrická.

Je x'=(2,1) z ON báze? Odpověď není $||x'||=\sqrt{4-2-2+2}=\sqrt{2}$
volím tedy $x=\frac{1}{\sqrt{2}}x'$ a ten už z ON báze je.

Nyní použiji linearitu A: $A(\frac{1}{\sqrt{2}}(2,1))=\frac{1}{\sqrt{2}}A(2,1)=(-\frac{2}{\sqrt{2}},0)$
Teď můžu mít 2 možné symetrické matice A v ortonormální bázi X, vyberu tu, která není regulární - tedy

$^\chi A=\begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$

A teď hledám spektrum, tedy char. polynom je

$p_{^\chi A}(t)=\text{det}\begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{2}}-t&0\\ 0&-t\\\end{pmatrix}=t(t+\frac{2}{\sqrt{2}})$

Spektrum mi tedy vyšlo { ${0,-\frac{2}{\sqrt{2}}}$ } , což je ale podle výsledků špatně.

Má vyjít {-2,0}.

Moc děkuji za odpověď.

lukaszh · 07. 06. 2012 03:13

↑ user:

Hľadáme symetrický operátor
$A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}$

Vieme, že
$\begin{array}{rcl}\langle (a,b)|(2,1)\rangle&=&-2\\\langle (b,c)|(2,1)\rangle&=&0\end{array}$

S využitím skalárneho súčinu definovaného v zadaní je $(a,b)=(-2,0)$ . Parameter $c$ dourčíme tak, aby bol operátor singulárny
$\det(A)=ac-b^2=0$

teda zrejme $c=0$ . Operátor má teda tvar
$A=\begin{bmatrix}-2&0\\0&0\end{bmatrix}$

Spektrum je {-2,0}.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2012 13:53 — Editoval user (02. 06. 2012 22:34)

Symetrický operátor

#2 07. 06. 2012 03:13

Re: Symetrický operátor

Zápatí