Matematické Fórum

vviston · 21. 05. 2012 22:11

Uvažujme speciální střeleckou soutěž: Y značí počet pokusů, které má střelec v
jednom kole, přičemž předpokládejme, že Y je náhodné s binomickým rozdělením Bi(2; 1/2 ) (tj. střelec má v každém kole buď žádný, jeden nebo dva pokusy). Střelec má v každém pokusu úspěšnost 1/3 , tj. pokud vystřelí, pak s pravděpodobností 1/3 trefí terč. Označme X = 1, pokud střelec v daném kole trefil alespoň jednou terč, a X = 0, pokud střelec v daném kole netrefí terč ani jednou.

a) Určete sdružené rozdělení vektoru (X; Y ).

Nevíte, prosímvás, jak sestavit tabulku rozdělení vektoru ?

X/Y 0 1 2
0 1/4 1/3 1/9
1 0 1/6 5/36

takhle ta tabulka vypadá, ale jak se došlo k hodnotám ? Díky :)

maartinii · 07. 06. 2012 08:37

Snad takto:
Použiju vzorec pro výpočet Binomického rozdělení
$Y \sim Bi(n;p) = { n \choose k }\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$

Vypočítám pravděpodobnost pro všechny k (0,1,2)
$k=0; Y \sim Bi(2;\frac{1}{2}) = { 2 \choose 0 }\cdot (\frac{1}{2})^{0}\cdot (1-\frac{1}{2})^{2-0}=\frac{1}{4}$
$k=1; Y \sim Bi(2;\frac{1}{2}) = { 2 \choose 1 }\cdot (\frac{1}{2})^{1}\cdot (1-\frac{1}{2})^{2-1}=\frac{1}{2}$
$k=2; Y \sim Bi(2;\frac{1}{2}) = { 2 \choose 2 }\cdot (\frac{1}{2})^{2}\cdot (1-\frac{1}{2})^{2-2}=\frac{1}{4}$

Teď provedu kombinaci pravděpodobností:
Když mám 0 pokusů, tak mám 100% šanci, že se nestrefím a 0% šanci, že se strefím
$P(X=0;Y=0)=P(X=0)\cdot P(Y=0)= 1 * \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$P(X=1;Y=0)=P(X=1)\cdot P(Y=0)= 0 * \frac{1}{4} = 0$

Když mám 1 výstřel, tak úspěšnost, dle zadání, je $\frac{1}{3}$ a neúspěšnost logicky $\frac{2}{3}$
$P(X=0;Y=1)=P(X=0)\cdot P(Y=1)= \frac{2}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
$P(X=1;Y=1)=P(X=1)\cdot P(Y=1)= \frac{1}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Když mám 2 výstřely, tak úspěšnost je stejná jako předchozí jen umocněná na 2.
$P(X=0;Y=2)=P(X=0)\cdot P(Y=2)= (\frac{2}{3})^2 * \frac{1}{4} = \frac{1}{9}$
$P(X=1;Y=2)=P(X=1)\cdot P(Y=2)= (\frac{1}{3})^2 * \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$
Poslední řádek z nějakého důvodu nevyšel, ale to nevadí, protože součet všech čísel musí být 1, takže součet všech přechozích se odečte od 1 a vyjde $\frac{5}{36}$

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2012 22:11

Sdružená rozdělení ?

#2 07. 06. 2012 08:37

Re: Sdružená rozdělení ?

Zápatí