Matematické Fórum

Představ si že pomocí metru a stopek měříš rychlost auta. Změříš dráhu kterou ujede a čas a podělíš to, že jo. Ale co když se auto pohybuje v každém okamžiku různě rychle?

Tak změříš dráhu kterou ujede za kratičký okamžik a podělíš délkou toho času. Co dostaneš? Průměrnou rychlost za ten, by? kratičký časový okamžik. Moc se to nebude lišit od okamžité rychlosti, ale i tak je to přece jenom něco jiného. Tak na to půjdeme ještě líp.

Kdybys chtěl okamžitou rychlost, tak ten okamžik musí být kratší než jakýkoliv kratičký časový okamžik :) . Za ten kratičký okamžik auto ujede malinkou dráhu a dělí se teda dvě čísla která jsou extrémně malá. A abychoom nedostali průměrnou rychlost ale okamžitou, tak i sebekratší časový okamžik je moc dlouhý. Takže abysme tu rychlost změny (= derivaci dráhy podle času) mohli definovat pořádně, musíme se nejdřív zabývat tím, co se stane když se ve výrazu blížíme k "zakázanému pásmu" - třeba nula ve jmenovateli - a k tomu je rpávě pojem limita.

Matematicky, průměrná rychlost v časovém intervalu je (v čitateli je rozíl poloh na začátku a na konci časového intervalu, což není nic jiného než ujetá dráha). Abysme měli okamžitou rychlost, musí být čas kratší než jakýkoliv čas který trvá déle než nula sekund :). Okamžitá rychlost je potom , což je definice derivace.

S limitou se dá blížit i jinam než k těm "zakázaným hodnotám" (mám na mysli elementární funkce a body nepatřící do definičního oboru, s  jinýma se asi na SŠ moc nepracuje), ale třeba taková limita je celkem o ničem, protože tam je funkce spojitá a proto se v úlohách takové problémy moc nevyskytují. Takže já studentům říkám, že limita nám umožní prozkoumávat zakázané ovoce (logaritmy nul a nekonečna, dělení nulou atd ....). A zakázané ovoce nejvíc láká, ne?

Takže derivace je rychlost změny a abychom ji mohli pořádně nadefinovat, potřebujeme pojem limita.

Mimochodem, jak nadefinovat že je funkce spojitá? (to je pojem který se objevil v předchozím odstavci) Taky pomocí pojmu limita!

Jinak, limita se většinou vysvětluje pomocí pojmu blížení se, nebo tak jak to popisuju výše, ale tím se pedagog dostane na velmi nejistou půdu. I já sám nejsem spokojený s tím, jak jsem to tu popsal výše. Proto je definice limity  na  první pohled tak odlišná od té hlavní myšlenky "blížení se". Musí to být totiž přesné a tím se to bohužel stane méně názorné.

Snažil jsem se to popsat trochu z jíného úhlu pohledu než si pamatuju, že je ve SŠ učebnicích. Jestli to nepomohlo tak trochu zagoogluj a třeba najdeš ještě jiný, pro tebe lepší úhel pohledu, ze kterého to pochopíš.