Matematické Fórum

Wochechule · 09. 06. 2012 13:02

Čusky krusky, našel by se tu někdo, kdo by mi poradil, jak mám vyřešit tento příklad? Mám ho rozpočítaný, ale nemůžu se dobrat zdárného konce :o( Budu vděčná za každou radu ;o)

Zadání příkladu --> f(x,y)=x2+x−2y+y2 s vazbou x2+y2=8 -> x2+y2-8=0

Nejdříve si to upravím a dopočítám základ...

L(x,y)=f(x,y)+λ g(x,y)=x2+x−2y+y2+λ(x2+y2-8)=x2+x−2y+y2+λx2+λy2-8λ

L´x(x,y)=2x+1+λ2x
L´y(x,y)=-2+2y+λ2y
L´xx(x,y)=2+2λ
L´yy(x,y)=2+2λ
L´xy(x,y)=0
L´yx(x,y)=0

2x+1+λ2x=0
-2+2y+λ2y=0
x2+y2-8=0

A dále už mi vycházejí jen šílenosti...

jelena · 09. 06. 2012 14:31

Zdravím (nevadí, že nejsem dost in v pozdravu?:-),

pokud jsem nic nepřehédla při derivování, potom máš soustavu:

2x+1+λ2x=0, odsud x=-1/(2+2λ)
-2+2y+λ2y=0, odsud y=2/(2+2λ)
vvyjádření x, y dosadíme do 3. rovnice soustavy (a budeme mít rovnici s jednou neznámou λ):

x^2+y^2-8=0

Podaří se pokračovat? Děkuji.

Wochechule

↑ jelena:

Být in není nejdůležitější :D ;o) Za tvou radu ti to ráda odpustím 8)

Po dosazení x a y do podmínky mi tedy výjde $\lambda^{2} =-\frac{29}{32}$ ???

jelena · 09. 06. 2012 20:34

↑ Wochechule:

jak to nedůležité? :-)

Mně takové "lambda" nevyjde. Řešíme rovnici (-1/(2+2λ))^2+(2/(2+2λ))^2-8=0 po úpravě v čitateli mám kvadratickou rovnici 32λ^2+64λ+27=0

Ještě jsem vložila pro kontrolu.

Wochechule · 09. 06. 2012 21:49

↑ jelena:

Tak tím pádem to nechápu...

$x^{2}+y^{2}-8=0$

$(-\frac{1}{2+2\lambda })^{2}+(\frac{2}{2+2\lambda })^{2}-8=0$
$(-\frac{1}{4+4\lambda ^{2}})+(\frac{4}{4+4\lambda ^{2}})-8=0$
$\frac{3}{4+4\lambda ^{2}}-8=0$
$3-8*(4+4\lambda ^{2})=0$
$3-32-32\lambda ^{2}=0$
$-32\lambda ^{2}=29$
$\lambda ^{2}=-\frac{29}{32}$

Kde pak mám chybu? A jak mám postupovat dále? Já jsem z toho jelen :o(

jarrro · 09. 06. 2012 22:09 — Editoval jarrro (09. 06. 2012 22:10)

odkedy je $$2+2\lambda$^2=4+4\lambda^2$
??

Tomas.P · 09. 06. 2012 22:10

↑ Wochechule:
Jmenovatel musíš umocnit podle vzorce: $(a+b)^2$ , dále platí: $(-1)^2=1$ .

Wochechule · 09. 06. 2012 22:48

Hups, už jsem asi přepracovaná... Děkuju za trknutí ;o) Zítrá to už snad nějak dopočítám...

Wochechule · 10. 06. 2012 09:43

jelena napsal(a):
↑ Wochechule:

jak to nedůležité? :-)

Mně takové "lambda" nevyjde. Řešíme rovnici (-1/(2+2λ))^2+(2/(2+2λ))^2-8=0 po úpravě v čitateli mám kvadratickou rovnici 32λ^2+64λ+27=0

Ještě jsem vložila pro kontrolu.

Opravdu tam má být +27??? Protože mě to vychází jinak...

$x^{2}+y^{2}-8=0$
$(-\frac{1}{2+2\lambda })^{2}+(\frac{2}{2+2\lambda })^{2}-8=0$
$(-\frac{1}{4+8\lambda +4\lambda ^{2}})+(\frac{4}{4+8\lambda +4\lambda ^{2}})-8=0$
$\frac{3}{4+8\lambda +4\lambda ^{2}}-8=0$
$3-8*(4+8\lambda +4\lambda ^{2})=0$
$3-32-64\lambda -32\lambda ^{2}=0$
$-29-64\lambda -32\lambda ^{2}=0$
$32\lambda ^{2}+64\lambda +29=0$

$x_{1,2}=\frac{-64\pm \sqrt{64^{2}-4*32*29}}{32}=\frac{-64\pm \sqrt{4096-3712}}{32}=\frac{-64\pm \sqrt{384}}{32}$ ???

Není to nějaké divné? Když mi nevýjde celé číslo... A profesor nám vždy dává příklady, co vycházejí nějak normálně... Nemohli jsme udělat někde chybu či nezvolili jsme si špatný postup?

jelena · 10. 06. 2012 09:53

↑ Wochechule:

Zdravím,

profesor je hodný člověk :-)

$(-1)^2=1$ viz kolega ↑ Tomas.P:. Opravdu 27.

Ještě oprav vzorec pro výpočet x1, x2:

$x_{1,2}=\frac{-64\pm \sqrt{64^{2}-4\cdot 32\cdot 27}}{2\cdot 32}=\ldots$

čitatel půjde vydělit 64 člen po členu, výsledek slušný - mně se tak jeví.

Wochechule · 10. 06. 2012 10:22

↑ jelena:

Výsledek $-1\pm \sqrt{10}$ považuješ za slušný jo :D No já ani ne teda...
A teď udělám co? Ty dva výsledky lamdy vložím do výsledků x a y, abych teda zjistila x1 a x2 a y1 a y2 ?

jelena · 10. 06. 2012 11:06

↑ Wochechule:

mně se jeví hezčí $-1\pm \frac{\sqrt{10}}{8}$ .

Já bych nejdřív pomocí matice 2. derivací ověřila pro kterou lambdu nastává extrém a až potom odpovídající lambdu dosazovala do x, y.

ještě je dobré upravit:
$x=-\frac{1}{2(1+\lambda)}$
$y=\frac{2}{2(1+\lambda)}=\frac{1}{(1+\lambda)}$

...

Wochechule · 10. 06. 2012 11:15

↑ jelena:

Už si pomalu připadám jak natvrdlý vejce...

Kde jsi vzala v jmenovateli tu 8, když jsem měla $\frac{-64\pm \sqrt{640}}{64}$ a to když zkrátím tak dostanu $-1\pm \sqrt{10}$ ...

jelena · 10. 06. 2012 11:25

$\frac{-64\pm \sqrt{640}}{64}=\frac{-64\pm 8\sqrt{10}}{64}$ ,

případně si založ téma v sekci SŠ, pokud potřebuješ jen dopočet kvadratické rovnice.

Wochechule · 10. 06. 2012 11:27

↑ jelena:

Děkuju za trpělivost a za tvůj čas, už to chápu ;o)

jelena · 10. 06. 2012 12:39

↑ Wochechule:

:-) také děkuji, měj se.

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2012 13:02

Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#2 09. 06. 2012 14:31

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#3 09. 06. 2012 19:56 — Editoval Wochechule (09. 06. 2012 21:34)

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#4 09. 06. 2012 20:34

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#5 09. 06. 2012 21:49

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#6 09. 06. 2012 22:09 — Editoval jarrro (09. 06. 2012 22:10)

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#7 09. 06. 2012 22:10

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#8 09. 06. 2012 22:10 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: dvouduplicita :-)

#9 09. 06. 2012 22:48

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#10 10. 06. 2012 09:43

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

jelena napsal(a):

#11 10. 06. 2012 09:53

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#12 10. 06. 2012 10:22

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#13 10. 06. 2012 11:06

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#14 10. 06. 2012 11:15

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#15 10. 06. 2012 11:25

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#16 10. 06. 2012 11:27

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

#17 10. 06. 2012 12:39

Re: Lokální vázané extrémy funkce - metoda Lagrangeových multiplikátorů

Zápatí