Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
mějme grupu G řádu $|q.p^n|$ . Ta dle Sylowových vět obsahuje aspoň jednu podgrupu H řádu $p^n$ a aspoň jednu podgrupu F řádu $q$ . Zajímalo by mě, zda je možné za nějakých předpokladů (či dokonce bez předpokladů) tvrdit, že [Edit] $H \cap F = \{1\}$ [\Edit]. Např. mě napadlo, že by tím předpokaldem mohlo být, že takových grup H existuje více (aspoň 2), případně přesně q, ale moc daleko jsem se nedostal.

Rovněž by mě zajímalo, zda sjednocení všech takových H a F již tvoří G, nebo zda se může stát, že nějaké prvky "zbydou" - tj. nejsou obsaženy v žádné podgrupě řádu $p^n$ , nebo $q$ . Možná spolu obě otázky souvisí.

Díky za postřehy.

PS: Pokud téma nebude shledáno zajímavým, nejsem proti jeho přesunu do sekce "Vysoká škola".

Olin · 10. 06. 2012 12:26

$H \cup F = \{1\}$ asi nenastane nikdy, ne?

Pokud jsi chtěl napsat $\cap$ , tak to asi nastane vždy, pokud bude $p \neq q$ , prostě proto, že prvky v grupách mají různé řády.

OiBobik

↑ check_drummer:

Ahoj,

co se týče druhé otázky (tj zda "všechny možné H,F pokryjí G"):
To obecně nebude pravda - stačí třeba uvážit grupu $G=(\mathbb{Z}_{qp^n},+,-,0)$ . Pak $1$ , nebo i jakýkoli jiný generátor grupy, nemůže ležet v žádné netriviální podgrupě $H \leq G$ . (za předpokladu, že $p,q>1$ )

Dokonce to nebude platit v žádné komutativní grupě - je-li $|G|=qp^n$ , pak (předpokládám-li, že $p \not | q$ a $n \geq 1, q >1$ ), pak zvolím-li $1 \neq h \in H$ a $1 \neq f \in F$ , pak prvek $hf$ má řád, který nedělí ani $q$ , ani $p^n$ (v komutativní grupě je řád součinu dvou prvků nejmenší společný násobek řádů jednotlivých prvků, za těch předpokladů jsou tyto řády netriviální dělitelé $q$ , resp. $p^n$ a jejich nejmenší násobek nedělí ani jedno z čísel, jelikož $NSD(q,p^n)=1$ )

EDIT: "v komutativní grupě je řád součinu dvou prvků nejmenší společný násobek řádů jednotlivých prvků" - to je samozřejmě blbost. Ale pro prvky nesoudělných řádů určitě pořád platí, že řád součinu prvků je součin řádů prvků, takže ten protipříklad stále projde.

check_drummer · 10. 06. 2012 20:20

↑ Olin:
Ahoj, díky za upozornění, opravil jsem.
Spíš bych, řekl nejen, že mají různé, ale mají nesoudělné řády - proto by tento průnik (který sám je grupou) musel mít mohutnost, která dělí jak p^i, tak q, což jinak, než, že je tato mohutnost 1, nelze.

check_drummer · 10. 06. 2012 20:26

↑ OiBobik:
Jasně, díky. Asi jsem měl napsat, že mě zajímají výhradně grupy nekomutativní. Speciálně jsem na tuto otázku narazil při zkoumání důkazu, že každá grupa řádu q.p^n je řešitelná, což je zajímavé zkoumat jen pro případ, kdy je tato grupa nekomutativní. Bylo by zajímavé zjistit, zda v takových grupách už tvrzení o "pokrytí" platí.

OiBobik

↑ check_drummer:

Ok, tak přidám ještě jeden (umělejší, ale přece : D ) nekomutativní protipříklad:

Uvažme grupu $G:=\mathbb{Z}_{9}\times S_3$ . Pak $|G|=9\cdot 3!=2\cdot 3^3$ a prvek $(1,(12))$ je řádu 18, tedy opět nemůže ležet v požadovaných podgrupách.

(Možná by to šlo s nějakým požadavkem na trivialitu centra grupy.)

check_drummer · 10. 06. 2012 22:31

↑ OiBobik:
Když o tom tak přemýšlím, tak spolu oba body souvisí - pokud budou mít uvedené grupy "typu" H dostatečně "malý" průnik a bude-li jich "dostatečně mnoho", pak na podgrupy(u) typu F zbydou všechny dosud "nepokryté" prvky - a zbyde-li jich málo, pak můžou tvořit (spolu s 1, který je pokryt každou grupou) celou grupu F. Ale bude to chtít nějaké dodatečné podmínky, jak ukazuje Tvůj příklad. (Pozn.: V důkaze řešitelnosti té grupy se operuje s normalizátorem grupy H.)

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2012 23:02 — Editoval check_drummer (10. 06. 2012 20:11)

Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#2 10. 06. 2012 12:26

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#3 10. 06. 2012 19:26 — Editoval OiBobik (11. 06. 2012 09:13)

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#4 10. 06. 2012 20:20

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#5 10. 06. 2012 20:26

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#6 10. 06. 2012 20:36 — Editoval OiBobik (10. 06. 2012 20:54)

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

#7 10. 06. 2012 22:31

Re: Vztah podgrup v grupě řádu q.p^n

Zápatí