Matematické Fórum

ajeto · 10. 06. 2012 18:38

dobrý večer

vedel by mi niekto napovedať čo s týmto integrálom?

$\int_{\partial\,B(0,a)} \frac{\partial\,u}{\partial\,n}\,\mathrm{d}S(x)$

kde

$B(0,a)$ je guľa so stredom v bode $0$ a polomerom $a>0$

$u=u(x)$ je vektorová funkcia premennej $x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3$

definovaná na množine $\Omega:=\{x \in \mathbb{R}^3\,;\,a \leq |x| \leq b\}$ ( kde $b>a>0$ a $|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}x_i^2}$ )

predpisom

$u(x)=\frac{lb^2}{a-ab+b^2}\cdot \Big(\frac{1}{a}-\frac{1}{|x|}\Big)$ $l>0$

a $n$ je jednotkový vektor vonkajšej normály (priamky kolmej na dotykovú rovinu) v bode $x \in \partial \Omega$

jardofpr

ahoj ↑ ajeto:

zdá sa mi že by sa dalo využiť že funkcia $u$ je symetrická vzhľadom na hodnotu $|x|$

zápis $\frac{\partial \,u}{\partial \, n}$ bude zrejme derivácia funkcie $u$ v smere jednotkového vektora $n$

vzhľadom na symetriu funkcie na celej množine $\Omega$ bude zrejme derivácia v smere vonkajšej normály
na vnútornej guli $B(0,a)$ konštantná

výhodou toho je že ju možno vypočítať napríklad ako deriváciu sprava funkcie $u$ zúženej na premennú $x_1$ pre $x_2=x_3=0$ v bode $(a,0,0)$
(to zúženie je teda kvázi funkcia jednej premennej definovaná na intervale $[a,b]$ )

táto hodnota bude nejaké číslo $d=d(a,b,l)$

$d$ závisí od daných konštánt $a,b,l$ , nezávisí však od $x$ preto ho možno vyhodiť pred integrál

plošný integrál $d\int_{\partial\, B(0,a)}\mathrm{d}S(x)$ z jednotky by mal byť
$d$ -násobkom povrchu gule s polomerom $a$ ,
teda celý integrál aj s deriváciou vnútri by mal mať hodnotu $4\pi a^2.d(a,b,l)$

nepočítal som to, len sa mi toto javí ako schodná cesta,
snáď niekto upresní ďalšie veci ak toto nebude stačiť,
poprípade opraví ak je niekde úvaha chybná