Matematické Fórum

jira · 10. 06. 2012 18:11

Zdravim,

hledám objem tělesa, určeného plochami $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ a $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$ .

Určil jsem si z průsečík jako $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a že budu integrovat přes plochu $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{2}$

Tedy něco jako $\int_{-\frac{a}{\sqrt{2}}}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} \int_{-b\sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}^{-b\sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{a^{2}}}} c\sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} - \int_{-\frac{a}{\sqrt{2}}}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} \int_{-b\sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}^{-b\sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{a^{2}}}} c\sqrt{ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}}$

Ovšem kromě za prvé si nejsem jistým že postupuji správně a za druhé nevím, jak výše uvedené integrály spočítat...

jardofpr

ahoj ↑ jira:

z tvojho postupu súdim že sa predpokladá $z>0$ a $a,b,c>0$ $(1)$
ale bolo by lepšie to uviesť ak je to pravda

rovnica $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{2}$ určuje elipsu,
ktorá ohraničuje plochu cez ktorú sa integruje, teda nie plochu samotnú

v inom tvare

$1=\frac{x^2}{(\frac{a}{\sqrt{2}})^2}+\frac{y^2}{(\frac{b}{\sqrt{2}})^2}$

na tejto elipse sa funkcie (za predpokladov (1) )

$z=c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$ a
$z=c\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$

pretínajú v rovine $z=\frac{c}{\sqrt{2}}$ $(2)$

vo vnútornom integráli oboch sčítancov by malo byť v hornej medzi znamienko $+$ a chýbajú diferenciály
v poradí $\mathrm{dy}\,\mathrm{d}x$

vzhľadom na symetriu oblasti a funkcií by som navrhoval počítať
štvornásobok integrálu v medziach
$0\leq x \leq \frac{a}{\sqrt{2}}$
$0 \leq y \leq b\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x^2}{a^2}}$

mohla by pomôcť transformácia štvrťelipsy na štvrťkružnicu
a následne polárne súradnice

jira · 11. 06. 2012 11:32

↑ jardofpr:

Diky za podrobnou odpoved. Ve vseobecnosti ten postup chapu, ale ty integraly stejne spocitat neumim.
Mozna je to na me prilis komplikovane. Sfericke souradnice apod. jsme se neucili.
Jen rotacni telesa a zakladni pouziti Fubiniho vety.
Tenhle priklad jsem nasel v Demidovicovi.

jardofpr

↑ jira:

editoval som vyšší príspevok, postup bol zbytočne komplikovaný
netreba to ani deliť podľa roviny (2) ako som písal vyššie, stačí transformácia elipsy na kružnicu a
následne polárne súradnice

teda najprv (stále sme na štvrťelipse v prvom kvadrante)

$x=\frac{a.u}{\sqrt{2}}\,,\,u \in [0,1]$
$y=\frac{b.v}{\sqrt{2}}\,,\,v \in [0,1]$

po dosadení do rovnice elipsy bude $u^2+v^2=1$

potom

$u=r.\cos{\varphi}$
$v=r.\sin{\varphi}$

$r \in [0,1]$
$\varphi \in [0,\pi/2]$

v rámci transformácie sa bude meniť aj funkcia pod integrálom,
to už nechám na teba

vychádzame teda z integrálu $\int_{M}\bigg(c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}-c\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\bigg)\,\mathrm{d}(x,y)$

kde $M$ je spomínaná štvrťelipsa

stačí tak?

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2012 18:11

dvojný integrál - objem tělesa

#2 11. 06. 2012 09:09 — Editoval jardofpr (11. 06. 2012 12:20)

Re: dvojný integrál - objem tělesa

#3 11. 06. 2012 11:32

Re: dvojný integrál - objem tělesa

#4 11. 06. 2012 12:21 — Editoval jardofpr (11. 06. 2012 15:23)

Re: dvojný integrál - objem tělesa

Zápatí