Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 11. 06. 2012 09:53

Dobre rano, chtel bych se zeptat jestli by mi nekdo skontroloval tyto priklady na metricke prostory:

1)Udejte priklad nekonstantni cauchyovske posloupnosti v $E^{2}$
-odpoved: napr $[\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$

2) $P=C[0,1]$ udejte priklad posloupnosti funkci $f_{n}(x)$ (*se nerovna*) $x$
-odpoved: napr $f_{n}(x)=x+1/n$ nebo $f_{n}(x)=x^{1+1/n}$

3) $P=\mathbb{N}$ , $\varrho (n,m)=\frac{|n-m|}{nm}$ . Rozhodnete, zda je posl. {n} cauchyovska.
-odpoved: je - plati, ze pro $min\{n,m\}->\infty$ jde $\varrho (n,m)->0$

4)Rozhodnete, zda existuje $A\subseteq E^{1}$ pro niz je $A^\circ =\{0,1\}$
-odpoved: $\bigcup_{n=1}^{\infty } (\{\frac{1}{n}\},\{-\frac{1}{n}\},\{1-\frac{1}{n}\},\{1+\frac{1}{n}\}) \cup \{0,1\}$

5)Urcete, pro ktere hodnoty k je zobrazeni F: $E^{2}->E^{2}$ dane predpisem $[x,y]->[k(x+y),k(x-y)]$ izometricke.
-tady mi to vychazelo ze to zobrazeni nebude nikdy izometricke, ale nevim, asi to mam spatne...

6) $P=\mathbb{R}$ , $\varrho (x,y)=$ $0$ pro x=y, $|x|+|y|$ jinak. $f(x)=0$ pro $x\in [0,1]$ , $1$ jinak.
Rozhodnete, zda f je spojite zobrazeni $(P,\varrho )->E^{1}$
Pro $(P,\varrho )$ rozhodnete, zda je $A=[-1,1]$ kompaktni.
-odpoved: zobrazeni mi vyslo nespojite v bodech -1 a 1, jelikoz pro okoli bodu 1 neexistuje v $(P,\varrho )$ takove okoli, aby funkcni hodnoty z nej padly do okoli 1
A by melo byt podle me kompaktni, nicmene nevim jak bych to dokazal.

U 4) si tim resenim nejsem jisty, nedokazu posoudit jestli pro takhle skonstruovanou mnozinu dokazu najit okoli bodu {0,1} takove, aby vsechny body z nej nalezely te mnozine (presne nevim jak se tam posloupnost 1/n chova, jestli jsou ty body dostatecne huste v limitnim pripade)
Dekuju, vim ze je toho moc, ale snad mam vetsinu spravne:)

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Ahoj,

1) ok (každá konvergentní posloupnost (tj. konvergentní v metrickém prostoru, tj. "k vlastní limitě") je cauchyovská)

2) ok (zadání ale asi znělo "najděte fn, že fn konvergují (stejnoměrně) k x," ne?)

3) ok (akorát možná by to chtělo trochu jasněji: $\epsilon>0$ , pak najdu $n: \frac{1}{n}<\epsilon$ pak pro $m \geq n$ je $|n-m|=m-n<m$ a tím pádem $\frac{|n-m|}{m}<1,\frac{|n-m|}{nm}<\epsilon$ , ale tak to záleží na vkusu)

4) Ne (pokud teda značíte stejně jako my symbolem $^{\circ}$ vnitřek množiny)
Vnitřek množiny je vždy otevřená množina, což $\{0,1\}$ není.

5) Taky ne:
Jde o to, nalézt všechna $k$ , že
$||(x,y)||=&||(k(x+y),k(x-y))|| \\ \sqrt{x^2+y^2}=&\sqrt{k^2(x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2)} \\ \sqrt{x^2+y^2}=&\sqrt{2k^2(x^2+y^2)} \\ 1=&\sqrt{2}|k|$
A pak ukázat (nebo nahlédnout), že ze zachování normy plyne zachování vzdáleností.
(pozn: všimni si, že to budou nějaké rotace)

6) no ona je ta metrika taková dobrá, že hodně věcí připustí jako spojité:
zvolme lib. $0 \neq x \in P$ . Pak $\forall y \in P,y\neq x: \rho(x,y)=|x|+|y| \geq |x|>0$ . Tedy kdykoli je $\epsilon >0,$ stačí zvolit $0<\delta<|x|.$ Pak pro všechny body v $y \in B_{\rho}(x,\delta): |f(y)-f(x)|<\epsilon$ (zkrátka proto, že $B_{\rho}(x,\delta)=\{x\}$ ).
Jediný bod, který dělá problém, je ta $0$ - tam to zobrazení taky nebude spojité. ( $f(0)=0$ , posloupnost $-\frac{1}{n} \rightarrow 0$ , ale $\lim_{n \to \infty}f(-\frac{1}{n})=1\neq f(0)$ )
Takže jo, je to nespojité, ale problém není v $1$ , nýbrž v $0$ .

EDIT:

2. část 6)

A nebude kompaktní:
Uvaž posloupnost $\{ a_n = 1-\frac{1}{2n}\}_{n=1}^{\infty}.$ Pak z posloupnosti $a_n$ nelze vybrat žádná cauchyovská posloupnost, jelikož:
$\forall n: |a_n|\geq \frac{1}{2}$ . Zároveň je posloupnost prostá a tedy kdykoli je $m>n$ , je $\rho(a_n,a_m)=|a_n|+|a_m|\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .
No a když z ní nelze vybrat cauchyovskou posloupnost, pak z ní nelze vybrat ani konvergentní posloupnost (jelikož každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská).

Sam_Hawkins · 11. 06. 2012 11:41

diky moc
jen k te 6) nejak to porad dost nechapu...prijde mi ze to zobrazeni neberes jako zobrazeni $(P,\varrho )->E^{1}$ ale $(P,\varrho )->(P,\varrho )$ ...nebo se pletu?

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Nene, beru ho jako $(P,\varrho )->E^{1}$ :

všimni si, že ověřuju
" $y \in B_{\rho}(x,\delta): |f(y)-f(x)|<\epsilon$ ", přitom $|a-b|$ je metrika v $E$ , nikoli $(P,\varrho)$ .

Připomenu definici spojitosti zobrazení $(X, \varrho)\rightarrow (Y, \sigma)$ v bodě $x \in X$ :

$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall y \in B_{\varrho}(x,\delta): \sigma(f(x),f(y))<\epsilon$

Nebo (alt. definice plynoucí z Heineho věty, tu jsem použil na tu nespojitost v bodě $0$ )

Kdykoli $x_n \rightarrow x$ v $(X, \varrho)$ , pak $f(x_n)\rightarrow f(x)$ v $(Y,\sigma)$ .

Sam_Hawkins · 11. 06. 2012 12:16

jo, jasne...ted uz to chapu...:)

a jeste jeden priklad:

$A=[-1,0]\cup \{\frac{1}{n}\}^{\infty }_{n=1}\cup \{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb{Q})$ v $E^{1}$
zjistit hranici, uzaver a vnitrek...
ja jsem resil:
$A^\circ =(-1,0)$
$\bar{A} =[-1,0]\cup [2,3]$
$h(A)=\{-1,0\}\cup [2,3]$

ale nejsem si jisty jestli do vnitrku nepatri i (2,3), ale precejenom kazde okoli jakehokoli bodu te mnoziny neni cele v te mnozine...to stejne s tou hranici, podle me ma kazde okoli jakehokoli bodu z tama neprazdny prunik jak s A tak s R

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Skoro - do uzávěru patří i $\{\frac{1}{n} \Big| n \in \mathbb{N}\}\cup \{1\}$ (je-li $A \subseteq X$ , pak $A \subseteq \bar{A}$ ). Podle toho bude taky jinak vypadat hranice.

$(2,3)$ do vnitřku určitě nepatří - iracionální čísla jsou hustá v $\mathbb{R}$ , tedy protínají každé okolí bodů $x\in \mathbb{R}$ .