Matematické Fórum

chrochto · 11. 06. 2012 18:28

Ahoj,
potřeboval bych poradit s jedním příkladem. Nevím jak ho mám přesně spočítat. O něco jsem se pokusil, ale podle výsledků mě to vychází špatně. Má to vyjít $12mm^{3}$ a mě to vyšlo $25mm^{3}$ . Poprosím o radu.

Zadání:
Ocelový sloup tvaru hranolu délky $l_{0}=5m$ , s příčnými hranami délky $a_{0}=10cm$ , je namáhán tahovým napětím $\sigma =0,1 MPa$ ve směru délky. Jak se změní objem tohoto sloupu protažením?

Můj pokus o vyřešení:
Změna objemu
$\triangle V = V_{0} - V$

Původní objem
$V_{0} = a_{0}^{2} * l_{0} = 0,1^{2 }*5 = 0,05 m^{3}$

Zmenšený objem
$V = a^{2} * l$

Hookův zákon
$\sigma = E*\varepsilon$

Poměrné zkrácení
$\varepsilon = \frac{a_{0}-a}{a_{0}}$
$a=a_{0}-a_{0}*\frac{\sigma }{E} = 0,1-0,1*\frac{0,1}{200000}=0,09999995m$

Poměrné prodloužení
$\varepsilon = \frac{l-l_{0}}{l_{0}}$
$l=l_{0}+l_{0}*\frac{\sigma }{E} = 5+5*\frac{0,1}{200000}=5,0000025m$

Zmenšený objem
$V = a^{2} * l=0,09999995^{2}*5,0000025=0,049999975m^{3}$

Změna objemu
$\triangle V = V_{0} - V=0,05-0,049999975=0,000000025m^{3}=25mm^{3}$

FliegenderZirkus

↑ chrochto:

1) Při počítání změny nějaké veličiny je zvykem od nové hodnoty odečítat tu původní, tedy místo $\Delta V=V_{0}-V$ bych psal $\Delta V=V-V_{0}$

2) Chyba je zde: $a=a_{0}-a_{0}*\frac{\sigma }{E}$ . $\sigma$ je totiž normálové napětí v podélném směru toho sloupu, ve směru kolmém žádné napětí není, nemůžeme proto použít Hookeův zákon.

3) Znáš význam Poissonova čísla? V této úloze by mělo být zadané, pokud se ovšem nepředpokládá, že pro ocel je přibližně $\mu=0,3$ . Zkus si to přepočítat pomocí vztahu $\varepsilon_a=-\mu \varepsilon_l$

chrochto · 12. 06. 2012 15:27

↑ FliegenderZirkus:
Děkuji. Poissonův modul pružnosti mě nenapadnul, abych ho použil. Stále mě to ale nevychází podle výsledků. Teď koukám že jsem ještě k tomu zadání zapomněl napsat 2 přídavné hodnoty a to $E=200GPa$ a $G=79GPa$ .

Výpočet:
poissonův modul pružnosti
$G=\frac{E}{2*(1+\mu )}$
$\mu =\frac{E}{2*G}-1=\frac{200}{2*79}-1=0,27$

poměrné zkrácení
$\varepsilon _{a}=-\mu *\varepsilon _{l}=-\mu *\frac{\sigma }{E}=-0,27*\frac{0,1}{200000}=-1,35*10^{-7}$
$\varepsilon_{a} = \frac{a_{0}-a}{a_{0}}$
$a=a_{0}-a_{0}*\varepsilon _{a}=0,1-0,1*(-1,35*10^{-7})=0,100000013m$

zmenšený objem
$V = a^{2} * l=0,100000013^{2}*5,0000025=0,050000038m^{3}$

změna objemu
$\triangle V = V - V_{0}=0,050000038-0,05=0,000000038m^{3}=38mm^{3}$

Tak nevím, kde je chyba, ale podle mě ta strana $a$ vychází nesmyslně, protože by měla vyjít menší než ta původní $a_{0}$ . Poprosím o další radu

FliegenderZirkus · 12. 06. 2012 16:05

↑ chrochto:

G je modul pružnosti ve smyku, neříká se mu „Poissonův modul pružnosti“. Výpočet $\mu$ je ale správně.

$\varepsilon_{a} = \frac{a_{0}-a}{a_{0}}$ je opět obráceně, správně má být $\varepsilon_{a} = \frac{a-a_{0}}{a_{0}}$ . S postupem ale jinak souhlasím.

Pokud si chceš usnadnit práci, tak lze vypočítat tzv. objemový modul pružnosti $K=\frac{E}{3-6\mu}$ a následně dosadit do $\frac{V-V_{0}}{V_{0}}=\frac{\sigma_l}{3K}$ .

K popisu elastických vlastností lineárního, homogenního izotropního materiálu postačují dvě konstanty. Lze je mezi sebou přepočítávat, což pěkně znázorňuje tabulka (úplně dole - Conversion formulas). České značení se od anglického trochu liší...kdyžtak se ještě zeptej!

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2012 18:28

Mechanika pevných těles

#2 11. 06. 2012 21:26 — Editoval FliegenderZirkus (11. 06. 2012 21:27)

Re: Mechanika pevných těles

#3 12. 06. 2012 15:27

Re: Mechanika pevných těles

#4 12. 06. 2012 16:05

Re: Mechanika pevných těles

Zápatí