Matematické Fórum

michalrysina · 11. 06. 2012 20:19

$x^{3} . y' - x.y = 1$ uměl by to někdo vyřešit?

kaja.marik · 11. 06. 2012 21:08

Ano, je to linearni rovnice.

michalrysina · 11. 06. 2012 21:11

kaja.marik · 11. 06. 2012 21:17

Vim, u linearni rovnice je to kucharka, jenom se pocita pokazde jiny integral. Mate v ucebnich materialech nejaky vzorovy priklad?

michalrysina · 11. 06. 2012 21:19

↑ kaja.marik:

To mám ale tady u tý nevím jak sojít k tomu integrálu. Furt tam překáží x nebo y

kaja.marik

Nevidim Vas postup, takze nevim, kde delate chybu. Jsu liny sem cely postup psat, takze bohuzel vic nemuzu poradit. Leda takto:
http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/in … p;form=ode

nase prava strana je 1/x^3+y/x^2

program nespocita integral exp(1/x)/x^3, ten si spocitejte rucne, treba substituci exp(1/x)=t nebo 1/x=t

Tomas.P

↑ michalrysina:
Jedná se o lineární diferenciální rci 1.řádu ve tvaru: $y'+a(x)y=b(x)$
${x^3}{\cdot}y'-x{\cdot}y=1 /:x^3$
$y'-\frac{1}{x^2}{\cdot}y=\frac{1}{x^3} /{\cdot}e^{\int{-\frac{1}{x^2}}}=e^\frac{1}{x}$
$y'{\cdot}e^\frac{1}{x}+y{\cdot}e^\frac{1}{x}{\cdot}$-\frac{1}{x^2}$={\frac{1}{x^3}}{\cdot}e^{\frac{1}{x}}$
$$y{\cdot}e^{\frac{1}{x}}$'=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^3} /\int$
$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^3}}$
Substituce: $\frac{1}{x}=u, -\frac{1}{x^2}dx=du{\Rightarrow}dx={-x^{2}}du$
${\int}{\frac{e^u}{x^3}}{\cdot}${-x^2}$du={\int}{-e^u}{\cdot}u{\cdot}du$
Per partes: $x=u, y'=e^u, x'=1, y=e^u$
${\int}{-e^u}{\cdot}u{\cdot}du=-(e^u{\cdot}u-e^u)=e^u-e^u{\cdot}u=e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}{\cdot}\frac{1}{x}+C$
$y{\cdot}e^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}{\cdot}\frac{1}{x}+C /:e^{\frac{1}{x}}$
$y=1-\frac{1}{x}+\frac{C}{e^{\frac{1}{x}}}$