Matematické Fórum

slezi2007

Dobrý den,
dnes jsem počítal jeden přiklad, který mi trošku zamotal hlavu, jeho řešení asi bude jednoduché, ale já to v tom prostě nemůžu najít.

Je zadán netlumený harmonický pohyb a v čase t=0 je výchylka x0=5cm a v0=20cm/s, dále je dána frekvence f=1Hz. Zjistit se má amplituda a počáteční fáze (což předpokládám, že je y0).

Předpokládám, že frekvence je zadána kvuli zjištění \omega (vyšla mi 6,28 rad/s - snad jsem to nepopletl s těma radiánama).
Pak bych asi jel přes vzoreček x0=A*cos(\omega *t+ \varphi 0), tam mám však dvě neznámé.
A když to zderivuji a získám v0=-A*\omega *sin ( \varphi 0), tady taky mám dvě neznámé.

Asi tam je nějaký fígl,nebo mi něco uniká.
Děkuji

EDIT: Omlouvám se za \omega a \varphi , nějak to asi neumím vložit do textu :)

EDIT2: Tak jsem to skusil spočítat jako:

Prostě jsem dal do poměru v0/x0 = [-A*\omega *sin \varphi 0)] / [A*cos(\omega *t+ \varphi 0)] a dopočítal \varphi 0.

Pak už se lehce přes trojúhelník dopočítá A a y0. Jenom to mínus mě mate (že by ten úhel byl "dole"? -pod osou x), snad jsem to dělal dobře.

zdenek1

↑ slezi2007:
$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi _0)\ \Rightarrow \ \cos (\omega t+\varphi _0)=\frac{x(t)}{A }$
$v(t)=-A\omega \sin (\omega t+\varphi _0)\ \Rightarrow \ \sin (\omega t+\varphi _0)=-\frac{v(t)}{A\omega }$
A tady je ten fígl
Platí:
$\sin ^2(\omega t+\varphi _0)+\cos ^2(\omega t+\varphi _0)=1$
$\left(-\frac{v(t)}{A\omega}\right)^2+\left(\frac{x(t)}{A}\right)^2=1$
ve všech časech $t$ , tj. i pro $t=t_0$
$A=\sqrt{x^2(t)+\left(\frac{v(t)}{2\pi f}\right)^2}$

Edit: Zjistit počáteční fázi přes tangens je dobrý nápad.

slezi2007 · 12. 06. 2012 15:11

↑ zdenek1:

Tak jsem to přepočítal mým i tvým způsobem a oba vyšly A=0,059 m. Tak to je asi dobře :-). Díky za ochotu!

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2012 14:19 — Editoval slezi2007 (12. 06. 2012 14:59)

Netlumený harmonický kmitavý pohyb

#2 12. 06. 2012 15:03 — Editoval zdenek1 (12. 06. 2012 15:06)

Re: Netlumený harmonický kmitavý pohyb

#3 12. 06. 2012 15:11

Re: Netlumený harmonický kmitavý pohyb

Zápatí