Matematické Fórum

Azeret · 12. 06. 2012 17:23

Ahoj,
mám trochu problém s kombinací Besselovy nerovnosti a Riesz-Fischerovy věty.
Na přednášce jsme si zapsali Besselovu nerovnost
Nech't $\{\Phi_k\}$ , $k\in \mathbb{N}$ je ortonormální systém v $H$ Hilbertově prostoru, $f \approx \sum c_k \Phi_k$ . Potom
$\sum c_k^2 < +\infty$ a též \sum c_k^2 \le ||f||_H^2.

Pak máme Riesz-Fischerovu větu, která již ve znění předpokládá $\sum c_k^2 < +\infty$ . Když toto platí pak $\exist f \in H$ tak, že
$c_k=(f,\Phi_k)_H$ a $||f||_H^2=\sum c_k^2$ .

Přítomnos nerovnosti si v Besselově nerovnosti vysvětlují tím, že systém $\Phi_k$ nemusí být úplný. Ale když dokazujeme Riesz-Fischerovu větu vlstně nevyužijeme žádných dalších předpokladů oproti větě ukazující Besselovu nerovnost. Jak je tedy možné,
že tam striktně platí rovnost?

Díky moc za odpověď.

OiBobik

↑ Azeret:

Ahoj,

řekl bych, že jde zhruba o toto:

Příklad:

Uvaž $A:=\{\Phi_k\}_{k=1}^{\infty}$ že je úplný ortonormální systém.
Pak $B:=\{\Phi_k\}_{k=2}^{\infty}$ je taky nějaký ortonormální systém (který není maximální, tedy ani úplný).

Buď $f_1\in H$ , kde $H$ je náš Hilbertův prostor, $c_k:=(f_1,\Phi_k)$ .
Z úplnosti systému $A$ a z úplnosti prostoru plyne, že $f_1=\sum_{k=1}^{\infty}c_k \Phi_k$
Speciálně (zobecněná Pythagrova věta) $\|f_1\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}c_k^2$
Platí tedy: $\|f_1\|^2\geq \sum_{k=2}^{\infty}c_k^2$ ... což je to, o čem mluví Besselova nerovnost (použitá na $f_1$ a ON systém $B$ ).
Položme $f_2:=f_1-c_1\Phi_1$ . Pak zřejmě $\forall k>1: (f_2,\Phi_k)=c_k$ a platí $f_2=\sum_{k=2}^{\infty}c_k \Phi_k$ , speciálně $\|f_2\|^2=\sum_{k=2}^{\infty}c_k^2$ ... to je ta funkce, jejíž existenci deklaruje Riesz-Fisher (použitá na $\{c_k\}_{k=2}^{\infty}$ a systém $B$ ).
___________________________________________________________________________________________

Příklad měl demonstrovat to, že: To, že pro nějakou fci s Four. koeficienty $c_k$ vzhledem k ON systému $S$ nenastává rovnost v Besselově nerovnosti, neznamená, že neexistuje funkce se stejnými Four koeficienty $c_k$ vzhledem k ON systému $S$ taková, že nastává přímo rovnost.

Snad to nebylo moc zmatečné, pointa je: Besselova nerovnost se vyjadřuje o konkrétní funkci, kterou dostanu. Riesz-Fisher hledá funkci na základě předepsaných skalárních součinů. Lze si to představit tak, že neúplný ON systém je (Schauderovou) bází nějakého uzavřeného podprostoru. Když bude $f$ spadat do toho podprostoru, pak nastává rovnost v Besselově nerovnosti. Když ne, pak existuje alespoň "ortogonální projekce" fce $f$ na ten podprostor.