Matematické Fórum

jay · 13. 06. 2012 10:31

Určete všechny dvojice přirozených čísel c, d, pro které platí:

$0 = \left| \begin{array}{ccc} 4 & c & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & d & -3 \end{array} \right|$

Asi úplně nejzákladnější problém je pro mne pochopit co se po mně vůbec chce. Když se matice rovná nějakému číslu (v tomhle případě 0) mám to chápat tak, že řešení jsou taková čísla, která vytvoří kombinaci tří závislých vektorů? Nebo se pletu?

Rumburak · 13. 06. 2012 10:35

To vpravo není jen matice, ale determinant z matice, který se dá vyjádřit číselnou funkcí svých proměnných.

jay · 13. 06. 2012 10:59

Determinant! Díky!

Takže vlastně postupuji takhle:
$(4*2*-3) + (c*1*0) + (0*1*d) - (0*2*0) - (c*1*-3) - (4*d*1)$

$-24 + 0 + 0 - 0 + 3c - 4d$

$-24 + 3c - 4d = 0$

V tomhle případě mám však výraz s dvěmi proměnnými, který by měl být roven 0.

"Selským rozumem" bych pak řešil tak, že kombinace proměnných je:

d = 0
c = 4
------
d = -3
c = 0

jay · 13. 06. 2012 11:11

Přemýšlím, že kombinací asi může být nekonečně mnoho a ne jenom dvě :)

cyrano52 · 13. 06. 2012 11:17

↑ jay:
Já bych to dělal parametricky, např. bych si stanovil, že $c=t$ , dosadil a vyjádřil bych si $d$ .

Rumburak

Zkusme úlohu nejprve poněkud zobecnit: hledejme celočíselná řešení rovnice

(1) $-24 + 3c - 4d = 0$ .

Její úpravou dostaneme $-24 + 3c = 4d$ , zde levá strana je dělitelná třemi, takže i pravá strana musí být dělitelná třemi,
což může být zajištěno jen tedy, když bude dělitelno třemi číslo $d$ . Položme tedy $d = 3x$ a dosaďme to do (1). Po úpravě pak
máme $-24 - 12x = -3c$ a po vykrácení (-3)mi

(2) $8 + 4x = c$ .

Našli jsme všechna celočíselná řešení $c, d$ rovnice (1) ve tvaru $c = 8 + 4x$ , $d = 3x$ , kde parametr $x$ probíhá množinu
všech celých čísel. Odtud už nebude těžké omezit volbu parametru $x$ tak, aby $c, d$ byla pouze přirozená čísla.

Úlohy tohoto typu se nazývají diophantické. Někdy je potřeba tu klíčovou myšlenu zopakovat vícekrát, než dojdeme k cíli.