Matematické Fórum

Pagrossman

Zdravím..
učím se na přijímačky na vysokou.. Dnes jsem spočítal u nepočítaně abslutních nerovnic, ale kvadratická mě kouek před koncem zaskočila a nevím si rady.. :(
Ani z wolframaplhy to nepobírám...

Zde je:
|x^2-2x-3|<x+1 -> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 … 7C%3Cx%2B1

Mé úpravy:
|(x-3)(x+1)|-x-1<0

Pro (∞;-1) --
Pro (-1;3)-+
Pro (3;∞)++

Jak ale dosadit?
Vznikne mi z toho znovu kvadratická rovnice :(

Pak ještě druhá rovnice

|2x/(1+x^2)|<=1 -> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 … %7C%3C%3D1

Mé úpravy:
(|2x|/|1+x^2|)-1<=0

Zde není možné dostat druhý absolutní člen do nuly v oboru Reálných čísel.
Pro (∞;0) -+
Pro (0;∞) ++

Po dosazení jsem ale zase v háji... nevím co s tím kvadrátem...

Když to nebude dnes vůbec se nebudu zlobit :D už toho mám beztak dost... Lidi okolo sebe vidim jak v Matrixu...

thriller · 12. 06. 2012 22:25

Zdravím do matrixu..

V intervalu (oo,-1) bude součin (x-3)(x+1) kladný a tudíž absolutní hodnota jakoby mohla zmizet a rovnice se řeší dál snadno. V intervalu (-1,3) je součin v abs. hodnotě záporný a tudíž odstraníme absolutní hodnotu zároveň s připsáním znaménka mínus před součin. V třetím intervalu je součin opět kladný a absolutní hodnota je tam pro nic za nic.

Pomohlo ti toto, nebo jsem já nepochopil, co jsi nepochopil? :)

Pagrossman

Ahoj :)

toto znám :)
(-) a (-) = (+)
(-) a (+) = (-)
(+) a (+) = (+)

Po dosazení (-) a (-):
(-x+3)(-x-1)-x-1<0
x^2-3x-4<0
(x-4)(x+1)<0

a opět:
Pro (∞;-1) --
Pro (-1;4)-+
Pro (4;∞)++

Výsledek:
$x\in (\infty;-1) \cup (4;\infty)$ - ten TeX je fakt vychytávka :)

a nyní se vrátit k původnímu:
Pro (∞;-1) --
Pro (-1;3)-+
Pro (3;∞)++
a počítat (-1;3) ? a pak i třetí?

Tím, že určuji znaménka, vytvořím novou rovnici a v ní musím určovat znaménka znovu jsem dost zmatený :(

Doufám, že je to srozumitelné.

thriller · 13. 06. 2012 12:43

Chlapče nešťastný, pořád nerozumím tomu, co ti není jasné.

Vyřešit rovnici $|x^2-2x-3|<x+1$ znamená:

1) na intervalu $(-\infty;-1)$ řešit rovnici $(x-3)(x+1)<x+1$ a dostat výsledek $(-\infty;-1)\cap (-\infty;-1) \cup (4;\infty)$ .
2) na intervalu $(-1;3)$ řešit rovnici $-(x-3)(x+1)<x+1$ a dostat výsledek $(-1;3)\cap (-\infty;-1) \cup (2;\infty)$
3) na intervalu $(3; +\infty)$ řešít rovnici $(x-3)(x+1)<x+1$ a dostat výsledek $(3; +\infty) \cap (-\infty;-1) \cup (4;\infty)$ .

Výsledné řešení je pak sjednocení všech tří dílčích výsledku $[(-\infty;-1) \cap \{(-\infty;-1) \cup (4;\infty)\}] \cup [(-1;3)\cap \{(-\infty;-1) \cup (2;\infty)\}] \cup (3; +\infty) \cap [\{(-\infty;-1) \cup (4;\infty)\}]$ (kde symboly "{" a "[" nejsou v tomto případě množinové závorky a slouží pouze pro přehlednost)

zdenek1

↑ Pagrossman:
Kdybys to tady trochu prohledal, našel bys pár podobných příkladů. Omýlám to tu furt dokola.
$|x^2-2x-3|<x+1$
protože obě strany jsou nezáporné, můžeme nerovnici umocnit
$(x^2-2x-3)<(x+1)^2$
$(x^2-2x-3)-(x+1)^2<0$ vzorec $a^2-b^2$
$(x^2-2x-3-x-1)(x^2-2x-3+x+1)<0$
$(x^2-3x+4)(x^2-x-2)<0$
$(x-4)(x+1)(x-2)(x+1)<0$ $x\ne-1$
$(x-4)(x-2)<0$
$x\in(2;4)$

$\left|\frac{2x}{x^2+1}\right|\le1$
$\frac{|2x|}{|x^2+1|}\le1$
$|2x|\le|x^2+1|$
a dále stejně: umocnit, převést na jednu stranu, vzorec a^2-b^2, rozložit na součin

edit: a tady a tady jsou ještě nějaké ukázky