Matematické Fórum

erzebet · 11. 06. 2012 22:28

Zjistěte, zda je je zobrazeni dané předpisem f(x)= (k/(k+2))*x Lipschitzovské

OiBobik · 11. 06. 2012 22:39

erzebet · 11. 06. 2012 22:45

↑ OiBobik:
To mi je jasné že inak ako cez definíciu to nepôjde,ale ja mám aj s tým problém:/

OiBobik

↑ erzebet:

1) zvol. $x,y \in \mathbb{R}$ libovolné.
2) Kolik je $|f(x)-f(y)|$ ? existuje nějaká konstanta $K>0$ nezávislá na $x,y$ , že $|f(x)-f(y)|\leq K |x-y|$ ?

erzebet · 11. 06. 2012 23:09

$\varrho ((k/(k+2))*x,(k/(k+2))*y)\le K*\varrho (x,y)$ $|(k/(k+2))*x-(k/(k+2))*y|\le K*|x-y|$

AKo z tohto zistim ci take K existuje?

erzebet · 11. 06. 2012 23:11

k tomuto sa neviem dopracovať:)

OiBobik · 12. 06. 2012 00:25

$\Big|\frac{k}{k+2}x-\frac{k}{k+2}y\Big|=\Big|\frac{k}{k+2}\Big||x-y|$

erzebet · 12. 06. 2012 07:15

Bože, ja som si zadanie zle prečítala, prepáč:D

erzebet · 12. 06. 2012 11:15

A kebyže mám $y=arctg(x)$ v E1? Budem ti vďačná;)

OiBobik

↑ erzebet:

No, ta lipshitzovská taky je, jen ten argument už asi nebude tak snadný...

Řekl bych, že to dostaneš z omezenosti derivace a některé z vět o střední hodnotě dif. počtu.
Asi takto:
Kdyby $\forall K>0 \exists x_K<y_K:|f(y_K)-f(x_K)|>K|y_K-x_K|$ , pak musí $\exists \xi \in (x_K,y_K): (\arctan)'(\xi)=\frac{f(y_K)-f(x_K)}{y_K-x_K}$ . Pak ale
$|(\arctan)'(\xi)|=\frac{|f(y_K)-f(x_K)|}{|y_K-x_K|}>K$ . To je pro dosti velká $K$ spor (derivace je omezená).

Ale pravděpodobně to jde i jednodušeji.

Pozn: lze z toho i vytřískat nějaký ten odhad konstanty lipschitzovskosti.

erzebet · 13. 06. 2012 13:22

ešte jedna otázka k tomu priklad s k-čkami;) Ono je to lipšicovské pre lubovolne L vacsie ako jedna a kontrakce pre k z intervalu od -nekonečno po 2 zjednotene s intervalom od 2 do nekonecno? otvorene?

OiBobik

↑ erzebet:

Kontrakce je to právě tehdy, když $\frac{|k|}{|k+2|}<1$ . Vychází to jinak, než píšeš.

$L$ -lipschitzovské pro lib. $L>1$ je to právě tehdy, když $\frac{|k|}{|k+2|}\leq 1$ .

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2012 22:28

Lipschitzovské zobrazení

#2 11. 06. 2012 22:39

Re: Lipschitzovské zobrazení

#3 11. 06. 2012 22:45

Re: Lipschitzovské zobrazení

#4 11. 06. 2012 22:49 — Editoval OiBobik (11. 06. 2012 22:50)

Re: Lipschitzovské zobrazení

#5 11. 06. 2012 23:09

Re: Lipschitzovské zobrazení

#6 11. 06. 2012 23:11

Re: Lipschitzovské zobrazení

#7 12. 06. 2012 00:25

Re: Lipschitzovské zobrazení

#8 12. 06. 2012 07:15

Re: Lipschitzovské zobrazení

#9 12. 06. 2012 11:15

Re: Lipschitzovské zobrazení

#10 12. 06. 2012 16:50 — Editoval OiBobik (12. 06. 2012 16:50)

Re: Lipschitzovské zobrazení

#11 13. 06. 2012 13:22

Re: Lipschitzovské zobrazení

#12 13. 06. 2012 13:40 — Editoval OiBobik (13. 06. 2012 13:42)

Re: Lipschitzovské zobrazení

Zápatí