Matematické Fórum

darkmagic · 11. 06. 2012 22:04

Přeji dobrý večer, potřeboval bych radu ohledně výpočtu následujícího příkladu.
Zadání zní: Rozviňte fci $f(x) = \frac{x}{2x+6}$ do mocninné řady se středem $x_0 = -1$ .

Chci tedy získat něco ve tvaru $\sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n (1)$ .
Postupoval jsem takto:
$x : (2x+6) = \frac{1}{2} -\frac{3}{2x+6}$
Pak jsem si vzal jen $\frac{3}{2x+6} = 4\cdot \frac{3}{\frac{1}{4}(4 + 2x +2 )}= \frac{12}{1 + \frac{x+1}{2}} = \frac{12}{1 -(- \frac{x+1}{2})}$ .
Pak jsem doplnil do vztahu $(1)$ a dostal jsem $\frac{1}{2} -\sum_{n=0}^{\infty}12\cdot(- \frac{x+1}{2})$ .
Dál bych se pokusil jěště zbavit ty $\frac{1}{2}$ .

Je toto vůbec správný postup?

Děkuji

vanok · 12. 06. 2012 14:31 — Editoval vanok (12. 06. 2012 14:34)

Ahoj ↑ darkmagic:,
Na riesenie takehoto problemu treba byt metodicky.

Uzitocne sa mozes inspirovat aj tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_expansion

Tak najprv poloz $X=x+1$ cize $x=X-1$ , a nahrad to v tvojej funkcii, co ti povoli pouzit rozvoj okolo nuly $F(X)$ ,( premenna je potom X) a po vypoctoch nahrad vsade $X=x+1$ ( co da hladany rozvoj )
Tak zacnime:
$f(x) = \frac{x}{2x+6}$
ti da
$F(X)=\frac{X-1}{2(X+1)+6}= \frac {X-1}{2X+8}=\frac 12 \cdot \frac {X-1}{X+4}$

Pokracuj ... ( vyuzi napriklad, ze $\frac 1 {X+4}$ je sucet geometrickej rady...)

darkmagic · 12. 06. 2012 17:42

Ahoj ↑ vanok:,
díky za tvoji reakci. To co jsi začal výše je poměrně jasné, horší by bylo to vymyslet.
Když toto $\frac 1 {X+4}$ je součet geom. řady, tak napíšu $\frac{1/4}{1-(-X/4)}$ z čehož tedy $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot(-\frac{X}{4})^n$ .
Když nahradim $X = x+1$ a sumu dosadim do $\frac 12 \cdot \frac {X-1}{X+4}$ , dostanu $\frac{x}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot(-\frac{x+1}{4})^n$ , což bych si dokázal představit jako $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{8}\cdot(-\frac{x+1}{4})^n$ .

Co myslíš?

Mj. prosím, jak se dělají zvětšující se závorky podle obsahu? (abych nepsal $(\frac{1}{x})$ )

vanok · 12. 06. 2012 17:50 — Editoval vanok (12. 06. 2012 18:53)

↑ darkmagic:,
Takto na rychlo ten vzorec vyzera dobre... ale je to len jedna cast zo vzorca.
Pomocna rada mala polomer konvergencie 4, ale tam si to este nedokoncil.... Aky ma interval konvergencie
Poznamka: vieme, ze jeho koncove body su -4 a 41, ale treba upresnit ci je orvoreny alebo nie v kazdom z tych bodov.... a potom urobit tu iste translaciu ako v rade pre ten najdeny pomocny interval.

darkmagic

↑ vanok:
Něco na tento způsob tu v sešitě u nějakého příkladu také mám, bohužel mi k tomu chybí poučka, podle čeho se to rozhoduju. Skoro to vypadá, že se vzalo $a_n$ a pak podle nějakého kritéria konvergence se zjišťovalo, jestli konverguje, či nikoli.
Můžeš mi prosím doplnit mezeru ve znalostech?

Ta translace to posune na interval $(-5, 3)$ .

vanok · 12. 06. 2012 18:56 — Editoval vanok (12. 06. 2012 19:01)

↑ darkmagic:
Teraz som to pozorne precital, a tak som som reeditoval ten prispevok

Porozmyslaj tiez o tomto:

V citateli mas X-1
Ty si urobil tu cast z 1
Ale treba aj tu z X
A potom to dat do kopy....

darkmagic · 12. 06. 2012 19:18

1) S poloměrem konvergence 4 souhlasím, potom jsem teda upravil posunutí intervali na $(-5,3)$ .

2) Říkáš, že jsem z $X-1$ vzal jenom tu jedničku, takže jsem nyný vzal jen to X:
$\frac{X}{X+4} = \frac{1}{1+4/X} =\frac{X}{1 - (-4\cdot 1/X)}$
$\sum_{n=0}^{\infty}\ (-4\cdot 1/X)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\ (\frac{-4}{x+1})^n$
Pochopil jsem tě správně?

vanok · 12. 06. 2012 19:19

↑ darkmagic:
a teraz to daj do kopy oba vysledky.

darkmagic

Prostým spojením dostávám $\sum_{n=0}^{\infty}((\frac{-4}{x+1})^n - \frac{1}{4}\cdot(\frac{-x-1}{4})^n)$ , ale to se mi už nedařilo zjednodušit více.

Pokuď je to výše správně, tak by se měl dořešit jěště ten interval konvergence, to jsou tedy hranice intervalu $(-5,3)$ .

vanok · 12. 06. 2012 20:35 — Editoval vanok (12. 06. 2012 20:50)

toto si napisal
$\frac 1 {X+4}=\frac{1/4}{1-(-X/4)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot(-\frac{X}{4})^n$
tu ↑ darkmagic:

A potom tu ↑ darkmagic: si vyvodil toto (opravil som tam to X/4)
$\frac{X}{X+4} = \frac{X/4}{1-(-X/4)} =\frac{1/4 \cdot X}{1 - (-4\cdot X)} =...$
ak dobre pokracujes to da

$...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{X}{4} \cdot $ \frac{-X}{4} $^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot$\frac{X}{4}$^{n+1}$

Poznamka: Vadcie zatvorky sa robia napr 

Teraz nahradis a scitas.. zatial pre $F(X)$ cize z $X$

A na koniec va vratis k x

darkmagic · 12. 06. 2012 20:47

vanok napsal(a):
A potom tu ↑ darkmagic: si vyvodil toto (opravil som tam to 1/4)
$\frac{X}{X+4} = \frac{1/4}{1+4/X} =\frac{1/4 \cdot X}{1 - (-4\cdot 1/X)} =...$
ak dobre pokracujes to da

myslim, že správně je to takhle, pokuď se nepletu:
$\frac{X}{X+4} = \frac{1}{1+4/X} =\frac{1}{1 - (-4\cdot 1/X)} =...$

vanok · 12. 06. 2012 20:52

Dokoncil som opravu....lebo TO 1/X mi uslo....
No je to jednoduche, lebo ide o vyuzitie uz najdeneho vysledku.

darkmagic · 12. 06. 2012 21:12

↑ vanok:
Tak tedy teď to sečtu a dostanu:
$\sum_{n=0}^{\infty}$ (-1)^n\cdot\(\frac{X}{4}$^{n+1}- \frac{1}{4}\cdot$-\frac{X}{4}$^n \)=$
$\sum_{n=0}^{\infty}$ (-1)^n\cdot\(\frac{X}{4}$^{n+1}- \frac{1}{4}\cdot(-1)^n\cdot $\frac{X}{4}$^n \)=$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot$\frac{X}{4}$^{n}\cdot$\frac X4-\frac 14$ =$
a po nahrazení X
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot$\frac x4$\cdot$\frac{x+1}{4}$^{n}$

To by šlo?

vanok · 12. 06. 2012 21:21 — Editoval vanok (12. 06. 2012 21:25)

Pouzil si toto?
$F(X)=\frac{X-1}{2(X+1)+6}= \frac {X-1}{2X+8}=\frac 12 \cdot \frac {X-1}{X+4}$
$X=x+1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

darkmagic · 12. 06. 2012 21:33

↑ vanok:
Ne, nepoužil. Vzal jsem si pouze tu část $\frac {X-1}{X+4}$ a tam jsem to dosazoval.

Potom tedy jěště ta $\frac 12$ , ta by šla snad dát do sumy $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot$\frac x8$\cdot$\frac{x+1}{4}$^{n}$ . Nebo tak to také nemyslíš? Už mi z toho jde hlava kolem:(

vanok · 12. 06. 2012 21:40 — Editoval vanok (12. 06. 2012 21:41)

Este to x/8 je spatne, lebo mal si tam X a tak to da (x+1)/8

No dobru noc, na dnes tu koncim, az zajtra ti dam pripadne poznamky.

darkmagic · 12. 06. 2012 21:44

↑ vanok:
Ano tohle mi nedošlo, máš pravdu. $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot$\frac{x+1}{8}$\cdot$\frac{x+1}{4}$^{n}$ .

To by tedy byla řada, potom jěště interval konvergence. Můžeš (zítra) nějako stručně, jasně, výstižně napsat co a jak (a proč)?

vanok · 13. 06. 2012 11:35 — Editoval vanok (13. 06. 2012 12:51)

Tak slubena poznamka:
Najprv treba pocitat toto:
$F(X)=\frac 12 $ \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot\(\frac{X}{4}$^{n+1}- \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{4}\cdot$\frac{X}{4}$^n \) =$
No zial metodu co si sa snazil pouzit pokazila vsetku pracu co zatial bola urobena... a dostal si nieco ine ako hladany rozvoj.
Ako mozes vidiet jedna suma co ma spojit z druhou, ma $X^n$ a druha $X^{n+1}$

Na pokracovanie vypoctu treba zharmonizovat obe sumy!

A iste ste videli na jednej z prvych prednasok, ze
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^{n+1}= \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n-1} X^n$
Tak to vyuzi!

darkmagic · 13. 06. 2012 12:00

↑ vanok:
Potom tedy první člen $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot$\frac{X}{4}$^{n+1}$ upravim na $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot$\frac{X}{4}$^{n}$ . Teď mám tedy dvě sumy kde mám $$\frac{X}{4}$^n$ , $a_n$ pro každou sumu vypadá trošku jinak a jěště sumy začínají jedou od nuly a podruhé od jedničky. To mi nepřijde, že bych si nějako pomohl.

O tom co jsme měli a neměli na přednáškách by se dalo spekulovat, poměrně podstatný věci jsem si našel jinde, protože v přednáškách to zkrátka nebylo...

Pozn.: u té druhé sumy, co jsi napsal, by asi už nemělo být u členu $$-\frac{X}{4}$^n$ to mínus, je schovaní v $(-1)^n$ .

vanok · 13. 06. 2012 12:55 — Editoval vanok (13. 06. 2012 12:55)

ano z tym minus mas pravdu... je to opravene.

No ale teraz dokoncit je to uz formalita
Napis clen pre n=0 zvlast a tie ostatne spocitaj ...

Bolo to maratonske... ale zda sa mi,ze to rozumies teraz... a na chybach sa casto najlepsie uci .. a tak ich uz neurobiis iste na skuske.

darkmagic

↑ vanok:
Tak tedy to zkusím dopsat. Pro n=0 mi to vyšlo $1/4$ . Potom ten člen tedy bude $-$\frac14+ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot\(\frac{X}{4}$^{n}\)$ .
To bych měl obě sumy od n = 1.

Potom je tedy sečíst:
$F(X)=\frac 12 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \( \frac{X}{4}$^{n} -$ \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac 14 \cdot \( \frac{X}{4} $^{n}\)\)$
Upravil bych u první sumy $(-1)^{n-1}$ na $-(-1)^{n}$ .
Potom mám před každou sumou tedy mínus. Posunul bych ho až k té $\frac 12$ . Tedy:
$F(X)=-\frac 12 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \cdot\(\frac{X}{4}$^{n}+ $\frac14+ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \cdot\frac 14\cdot\(\frac{X}{4}$^{n}\)\)$

Teď bych sumy opravu spojil do jedny:
$F(X)=-\frac 18 - \frac 12 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \cdot\(\frac{X}{4}$^{n}\cdot $ 1 + \frac 14$\) =$
(po nahrazení X za x + 1)
$=-\frac 18 - \frac 12 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac 54 \cdot\(-\frac{x+1}{4}$^{n} \)$

Tak snad toto?

vanok · 13. 06. 2012 14:10

Este mala esteticka uprava:
$f(x)=-\frac 18 - \frac 58 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n $\frac {x+1}{4}$^{n}$

Mozes tu teraz napisat cele riesenie, aby bolo dokonale citatelne... vsak to nie je vellmi dlhe.

darkmagic · 13. 06. 2012 14:13

↑ vanok:
Ještě než to celé přepíšu, je to teď nyní už úplně celé?

vanok · 13. 06. 2012 14:32

Dobra poznamka: je to skoncene ( a nezabudni v rieseni napisat aj vsetko o konvegencii)

A potom nezabudni oznacit tuto temu ukoncenu

Rumburak

↑ darkmagic:

Ahoj.

Úloha není tak obtížná, jak by se z dosavadních bojů snad mohlo jevit. Ale chce to trochu praxe a dopředu vědět, co příjde. Vychází mi to ale jinak (???).
Nejprve funkční výraz upravíme do vhodnější podoby:

(1) $f(x) = \frac{x}{2x+6} = \frac{x}{2(x+3)} = \frac{(x+3) - 3}{2(x+3)} = \frac{x+3}{2(x+3)} - \frac{3}{2(x+3)} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\, \frac{1}{x+3}$ .

Dále označme ještě

$g(x) = \frac{1}{x+3} = \frac{1}{(x+1) + 2} = \frac {1}{2}\,\frac {1}{\frac{x+1}{2} + 1}$

a vzpomeňme si na vzorec pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady:

$\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac {1}{1-q}$ , pokud $|q| < 1$ .

Aplikujeme-li tento poznatek na kvocient $q = -\frac{x+1}{2}$ , dostáváme :

$\frac {1}{\frac{x+1}{2} + 1} = \frac {1}{1 - \left(-\frac{x+1}{2}\right)} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x+1}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{2}\right)^n(x-(-1))^n$ ,

takže

(2) $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\, g(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\,\frac {1}{2}\,\frac {1}{\frac{x+1}{2} + 1} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\,\,\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{2}\right)^n(x-(-1))^n$ , kde $x \in (-2, 0)$ .

OPRAVA: Konvergenční kruh řady v (2) má poloměr 2 , takže podmínku $x \in (-2, 0)$ možno rozšířit na $x \in (-3, 1)$ .

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2012 22:04

Rozviňte funkci do mocninné řady

#2 12. 06. 2012 14:31 — Editoval vanok (12. 06. 2012 14:34)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#3 12. 06. 2012 17:42

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#4 12. 06. 2012 17:50 — Editoval vanok (12. 06. 2012 18:53)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#5 12. 06. 2012 18:40 — Editoval darkmagic (12. 06. 2012 19:05)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#6 12. 06. 2012 18:56 — Editoval vanok (12. 06. 2012 19:01)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#7 12. 06. 2012 19:18

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#8 12. 06. 2012 19:19

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#9 12. 06. 2012 19:30 — Editoval darkmagic (12. 06. 2012 19:31)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#10 12. 06. 2012 20:35 — Editoval vanok (12. 06. 2012 20:50)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#11 12. 06. 2012 20:47

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

vanok napsal(a):

#12 12. 06. 2012 20:52

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#13 12. 06. 2012 21:12

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#14 12. 06. 2012 21:21 — Editoval vanok (12. 06. 2012 21:25)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#15 12. 06. 2012 21:33

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#16 12. 06. 2012 21:40 — Editoval vanok (12. 06. 2012 21:41)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#17 12. 06. 2012 21:44

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#18 13. 06. 2012 11:35 — Editoval vanok (13. 06. 2012 12:51)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#19 13. 06. 2012 12:00

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#20 13. 06. 2012 12:55 — Editoval vanok (13. 06. 2012 12:55)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#21 13. 06. 2012 13:26 — Editoval darkmagic (13. 06. 2012 13:27)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#22 13. 06. 2012 14:10

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#23 13. 06. 2012 14:13

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#24 13. 06. 2012 14:32

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

#25 13. 06. 2012 14:34 — Editoval Rumburak (13. 06. 2012 16:29)

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

Zápatí