Matematické Fórum

Speeder · 13. 06. 2012 22:22

Zdravím,

chcel by som sa spýtať, či neexistuje okrem hodnoty prvej derivácie (či je kladná alebo záporná) nejaký iný rozumný spôsob na určenie monotónnosti funkcie (napr. nejak cez druhú deriváciu by to nešlo?).

Cynyc · 13. 06. 2012 22:41

↑ Speeder: Pokud jde jen o ta znaménka, tak na monotonii stačí znát nulové body derivace a limity v krajních bodech intervalů, na které rozdělí definiční obor právě tyto nulové body a body, kde derivace neexistuje. Úplně bez derivace to lze jen v některých případech, například při skládání nebo některých aritmetických operacích na monotonních funkcích. Kupříkladu funkce $\mathrm{arctg}\,\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\cdot\mathrm{arccotg}\,x$ je rostoucí, protože $\mathrm{arctg}\,\mathrm{e}^x$ je složení dvou rostoucích funkcí, a tedy funkce rostoucí, $\mathrm{e}^{-x}\cdot\mathrm{arccotg}\,x$ je klesající, protože je to součin kladných klesající funkcí, a rostoucí mínus klesající funkce je rostoucí.

Rumburak · 14. 06. 2012 10:16

↑ Speeder:

Jen dodám, že pouze z druhé derivace monotonii nezjistíme.
Například funkce $f(x) := 2x + \sin x, g(x) := -2x + \sin x$ mají stejnou druhou derivaci, přestože první je rostoucí a druhá klesající
(což snadno zjistíme na základě první derivace).

pospik · 15. 06. 2012 22:19

Dokázat, zda daná funkce je klesající se v jednoduchých případech dá udělat i tak, že dokážeme přímo vlastnost z definice
$\forall x_1,x_2 \in I: (x_1 < x_2) \Rightarrow (f(x_1) < f(x_2))$
(obdobně pro rostoucí)

Nicméně jste se ale ptal na rozumný způsob :)

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2012 22:22

Určenie monotónnosti funkcie bez prvej derivácie

#2 13. 06. 2012 22:41

Re: Určenie monotónnosti funkcie bez prvej derivácie

#3 14. 06. 2012 10:16

Re: Určenie monotónnosti funkcie bez prvej derivácie

#4 15. 06. 2012 22:19

Re: Určenie monotónnosti funkcie bez prvej derivácie

Zápatí