Matematické Fórum

slavek · 13. 06. 2012 23:10

Mám přepsat tuto řadu: $(\frac{1}{\sqrt{2}-1}-1)+(\sqrt{2}-1)-(3-2\sqrt{2)}+...$ jako $\sum_{}^{}$ a určit součet.
Poskytl by někdo nějakou myšlenku. Děkuji.

Cynyc · 13. 06. 2012 23:37

↑ slavek: Dvě otázky: je zápis skutečně správný (včetně vyznačení členů řady) a nejsou zadány nějaké další členy? Obecně je totiž přepis konečného počtu členů do řady špatně definovaná úloha, protože řada může pokračovat jakkoli. Zpravidla se touto úlohou myslí nalezení nejkomprimovatelnějšího (nejméně informace obsahujícího) předpisu, který dané členy generuje; ve Vašem příkladě se však žádný zjevný nenabízí a není ani zřejmé, jaká znaménka budou jednotlivé členy řady mít.

slavek · 14. 06. 2012 08:26

↑ Cynyc: Doopravdy je to takto zadané. Mám tedy ve výsledku součet uvedený jako $\sum_{1}^{\infty }(-1)^{n-1}(\sqrt{2}-1)^{n-2}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$
Vychází to, ale nepřišel bych na to. Jak by se přišlo na ten konečný součet řady?
Díky

Rumburak · 14. 06. 2012 09:08

↑ slavek:

Řada $\sum_{1}^{\infty }(-1)^{n-1}(\sqrt{2}-1)^{n-2}$ se snadno převede na geometrickou s kvocientem $q = 1-\sqrt{2}$ , která je konvergentní , protože $|q|<1$ .

vanok · 14. 06. 2012 09:33 — Editoval vanok (14. 06. 2012 09:34)

↑ slavek:
Z daneho vyrazu nie je evidentne uhadnut o aku postupnost ide...
Vdaka rieseniu, co si dal, je to trivialne.

Dokazes uhadnut ake je dalsie pismeno v tejto postupnosti:
n; j; d; t; ....?

Cynyc · 14. 06. 2012 14:21 — Editoval Cynyc (14. 06. 2012 15:27)

↑ slavek: Je to bohužel zadáno mizerně, protože aby byla taková úloha vůbec řešitelná, je třeba oddělit jednotlivé členy, což je v zadání uděláno špatně. Správné zadání by nemělo obsahovat první pár závorek, protože ten slučuje dva členy do jednoho. Mělo by tedy být zadáno $\frac{1}{\sqrt{2}-1}-1+(\sqrt{2}-1)-(3-2\sqrt{2)}+...$ , jinak je uvedené řešení chybné.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2012 23:10

Součet nekonečné řady

#2 13. 06. 2012 23:37

Re: Součet nekonečné řady

#3 14. 06. 2012 08:26

Re: Součet nekonečné řady

#4 14. 06. 2012 09:08

Re: Součet nekonečné řady

#5 14. 06. 2012 09:33 — Editoval vanok (14. 06. 2012 09:34)

Re: Součet nekonečné řady

#6 14. 06. 2012 14:21 — Editoval Cynyc (14. 06. 2012 15:27)

Re: Součet nekonečné řady

Zápatí