Matematické Fórum

KatjushaMan

Zdravim.

takze este raz dufam ze teraz to uz bud esrpavne zadane.

Potreboval by som poradit s diferencialnou rovnicou nieco ako toto tu

$y^{\prime}-\frac{2}{x+1}y=(x+1)^{3}$

neviem ako s tym pohnut. jedine pokial som dobre pochopil tak je tento krok

$y^{\prime}-\frac{2}{x+1}y=0$
$y^{\prime}=\frac{2}{x+1}y$

ale mozno je to hlupost.

skripta nemam k dispozicii kedze natlacene neboly dostatocne pocty a ked som mal v riadnom roku tak este neboly vobec

dakujem za pomoc dufam ze uz neporusujem pravidla

marek

Tomas.P · 14. 06. 2012 13:08

↑ KatjushaMan:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … x%2B1%29^3

Takjo · 14. 06. 2012 13:39

↑ KatjushaMan:
Dobrý den,

- nejprve řešíme zkrácenou rovnici:
$y^{\prime}-\frac{2}{x+1}y=0$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x+1}y$
$\int_{}^{}\frac{dy}{y}=2\cdot \int_{}^{}\frac{dx}{x+1}$
$\ln |y|=2\ln |x+1|+\ln C$
$\ln |y|=\ln (x+1)^{2}+\ln C$
$y=C\cdot (x+1)^{2}$ 1)

- dále prohlásíme C za funkci x $\Rightarrow C_{(x)}$
$y^{'}=C^{'}_{(x)}\cdot (x+1)^{2}+2C_{(x)}\cdot (x+1)$ a dosadíme do úvodní rovnice:

$C^{'}_{(x)}\cdot (x+1)^{2}+2C_{(x)}\cdot (x+1)-\frac{2C_{(x)}\cdot (x+1)^{2}}{x+1}=(x+1)^{3}$
$C^{'}_{(x)}=(x+1)$
$\int_{}^{}dC_{(x)}=\int_{}^{}(x+1)dx$
$C_{(x)}=\frac{x^{2}}{2}+x+K$

- a výsledek dosadíme do 1) :

$y=(\frac{x^{2}}{2}+x+K)\cdot (x+1)^{2}$