Matematické Fórum

zdenekm31 · 12. 06. 2012 13:49

Zde je ještě jeden integrál, s kterým si také nevím rady.

nejspíše jde o úpravy, takové, aby se to jednoduše zintegrovalo...

jardofpr · 12. 06. 2012 15:01

↑ zdenekm31:

po roznásobení zátvorky v integrande a využitím aditívnosti integrálu dostaneš súčet

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}(1+\cos{x})\,\mathrm{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\sin{x}\frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}}\,\mathrm{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\sin{x}\,\cos^4{x}\,\cos^2{(9x)}\,\mathrm{d}x$

funkcia $\sin{x}\cos^4{x}\cos^2{(9x)}$ je nepárna, preto integrál z nej na $[-\pi,\pi]$ je rovný nule

funkcia $\sin{x}\,\frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}}$ je takisto nepárna
a hoci tento integrál by sa počítal ako nevlastný kvôli tomu že interval $[-\pi,\pi]$ obsahuje bod $0$ ,
stále je symetrická podľa bodu $[0,0]$ a aj tento integrál bude rovný $0$

jediný nenulový sčítanec je teda

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{x}\,\cos{x}(1+\cos{x})\,\mathrm{d}x=2\int_{0}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}(1+\cos{x})\,\mathrm{d}x$ (rovnosť platí lebo integrand je párna funkcia)

to sa dá ďalej rozložiť na súčet

$2\int_{0}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x+2\int_{0}^{\pi}\sin^2{x}\cos^2{x}\,\mathrm{d}x$

kde prvý integrál je opäť nulový,

a pri výpočte

$2\int_{0}^{\pi}\sin^2{x}\cos^2{x}\,\mathrm{d}x$

stačí využiť identity

$\cos^2{x}\sin^2{x}=\frac{1}{4}\,\sin^2{(2x)}$ a $\sin^2{y}=\frac{1}{2}(1-\cos{2y})$

kaja.marik

Nekde jsou mozna definice takove, ze kdyz integral z $\sin{x}\,\frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}}$ od 0 do $\pi$ diverguje, tak diverguje cely vysledek.

To jsou takove ty rozdily typu: je integral $\int_1^1 \frac 1x \mathrm{d}x$ nula nebo neexistuje? Zalezi na tom, jak presne to mate zavedene a jak s tim pracujete.

zdenekm31

Po rozložení integrálu na tři části, jsou dvě rovny nule, zůstává první část, která se dál upraví a opět se tu píše že je rovna nule, ale proč je rovna nule??

jedná se o tuto část: sin(x)^2 * cos(x)

Po zkouknutí s někym jinym sme tam zkusili zavést substituci:
sin(x) = t
cos(x)dx = dt

Vyjde to tímto způsobem a dosazení mezí 2/3.

Je to právně jak je to popsáno výše, že je to rovno nule, či to vyjde opravdu 2/3??

děkuji za odpověď :)

Cynyc · 14. 06. 2012 15:09

↑ zdenekm31: Nemáte-li zavedenu tzv. hlavní hodnotu integrálu, nemá integrál smysl, protože prostřední integrál diverguje, jak správně píše kaja.marik. Nesprávná je jen jeho domněnka "někde jsou možná definice takové" - VŠUDE jsou definice takové, jen někde (ale těžko mimo matfyz a jaderku) se zmiňuje pojem hlavní hodnota integrálu, která takovému integrálu umožňuje přiřadit konečnou hodnotu.

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2012 13:49

Integrál 2

#2 12. 06. 2012 15:01

Re: Integrál 2

#3 12. 06. 2012 15:07 — Editoval kaja.marik (12. 06. 2012 15:08)

Re: Integrál 2

#4 14. 06. 2012 14:42 — Editoval zdenekm31 (14. 06. 2012 14:45)

Re: Integrál 2

#5 14. 06. 2012 15:09

Re: Integrál 2

Zápatí